《2025年小考直通车数学》

例 1
小明买了一块长方体蛋糕,和同行的伙伴分享,他决定从上面和下面分别截去高为 $ 3 \, cm $、$ 2 \, cm $ 的长方体后,给自己留下一个正方体(如图,单位：$ cm $),结果表面积减少了 $ 120 \, cm^2 $,那么原长方体蛋糕的体积和表面积分别是多少？

答案： 解题步骤：
1. 设正方体棱长为$x$ cm：原长方体底面为正方形，边长等于正方体棱长$x$，原长方体高为$x + 3 + 2 = x + 5$ cm。
2. 计算减少的表面积：截去的两个长方体侧面积之和为减少的表面积。
上面长方体侧面积：$4 × x × 3$，下面长方体侧面积：$4 × x × 2$。
总减少表面积：$4x × 3 + 4x × 2 = 20x$。
3. 求解$x$：由题意$20x = 120$，解得$x = 6$ cm。
4. 原长方体尺寸：长=宽=6 cm，高= $6 + 3 + 2 = 11$ cm。
5. 计算体积：$V = 6 × 6 × 11 = 396$ cm³。
6. 计算表面积：$S = 2(6 × 6 + 6 × 11 + 6 × 11) = 2(36 + 66 + 66) = 336$ cm²。
结论：
原长方体蛋糕的体积是$396$ cm³，表面积是$336$ cm²。

例 2
把一个底面半径 $ 3 \, cm $、高 $ 6 \, cm $ 的圆锥形铁块放入装有水的圆柱形容器中,完全浸没(水未溢出)。已知圆柱形容器的内直径是 $ 12 \, cm $。铁块放入后,水面会上升多少厘米？

答案： 圆柱容器直径为$12\ cm$，半径为$6\ cm$。
圆锥体积公式：$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$，
代入数据：
$V = \frac{1}{3} × \pi × 3^2 × 6 = 18\pi \ (cm^3)$。
圆柱容器中水面上升部分的体积等于圆锥体积，设水面上升高度为$h_1$，
则：$\pi × 6^2 × h_1 = 18\pi$，
$36\pi h_1 = 18\pi$，
$h_1 = \frac{18\pi}{36\pi} = 0.5 \ (cm)$。
答：水面会上升$0.5\ cm$。

例 3
一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水(如下图),请你根据图上标明的数据,计算瓶子的容积。

答案： 由题意知，瓶子的容积等于第一部份中水的高度对应的水的体积加上第二部份中除水之外的空间体积。
第一部份中水形成了一个高为4厘米，底面面积为10平方厘米的柱体，
体积为：$4×10=40$（立方厘米），
第二部份整体是一个高为7厘米，底面面积为10平方厘米的柱体，
其中除水之外的空间高度为$7-5=2$（厘米），
体积为：$2×10=20$（立方厘米），
所以瓶子的容积为：$40+20=60$（立方厘米），
综上，瓶子的容积为60立方厘米。