《2025年小考直通车数学》

例 3 已知a△b = 5a - 4b,求下面各式的值。
(1) 6△4
(2) 15△(5△2)
思路点拨：本题考查对定义新运算的理解和掌握情况。
(1)由a△b = 5a - 4b可知,求6△4的值,就是求当a = 6,b = 4时,5a - 4b的值。
(2)先算括号里面的5△2,再算括号外面的。
 

答案：
(1)
$6 \triangle 4$
$= 5 × 6 - 4 × 4$
$= 30 - 16$
$= 14$
(2)
$5 \triangle 2$
$= 5 × 5 - 4 × 2$
$= 25 - 8$
$= 17$
$15 \triangle (5 \triangle 2)$
$= 15 \triangle 17$
$= 5 × 15 - 4 × 17$
$= 75 - 68$
$= 7$

例 4 简算：$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{16}-\frac{1}{32}-\frac{1}{64}。$
思路点拨：通过观察,可以发现这个算式中的每个减数都为单位分数(分子为1),且分母从2开始依次乘2。
画正方形图理解算法如下：

将大正方形看作单位“1”,可以发现$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}= 1-\frac{1}{64},$所以可先用减法的性质将算式整理,再进一步简算。
 

答案： $1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{16}-\frac{1}{32}-\frac{1}{64}$
$\begin{aligned}$
$&=1-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64})\\$
$&=1-(1-\frac{1}{64})\\$
$&=1-\frac{63}{64}\\$
$&=\frac{1}{64}$
$\end{aligned} $