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2025年教材帮七年级数学下册苏科版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年教材帮七年级数学下册苏科版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
12（扬州邗江区期中改编）已知$(x - 2020)^{2}+(x - 2022)^{2}=48$，则$(x - 2021)^{2}=$______.
答案：
12. 23 设$x - 2021 = a$，则$x - 2020 = a + 1$，$x - 2022 = a - 1$. 因为$(x - 2020)^{2}+(x - 2022)^{2}=48$，所以$(a + 1)^{2}+(a - 1)^{2}=48$，所以$a^{2}+2a + 1+a^{2}-2a + 1 = 48$，所以$2a^{2}+2 = 48$，所以$a^{2}=23$，即$(x - 2021)^{2}=23$.
13 图1是一个长为$4a$，宽为$b$的长方形，沿图中虚线剪开，先把大长方形平均分成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成一个“回”字形正方形，如图2.
(1)图2中阴影部分的面积为______；
(2)观察图2，则$(a + b)^{2},(a - b)^{2},ab$之间的等量关系是______；
(3)根据(2)中的结论，若$x + y = 5,xy=\frac{9}{4}$，则$x - y =$______；
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，可以得到的一个等式是______.
(1)图2中阴影部分的面积为______；
(2)观察图2，则$(a + b)^{2},(a - b)^{2},ab$之间的等量关系是______；
(3)根据(2)中的结论，若$x + y = 5,xy=\frac{9}{4}$，则$x - y =$______；
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，可以得到的一个等式是______.
答案：
13.
(1)$(b - a)^{2}$ 由题图2可知，阴影部分为边长为$b - a$的正方形，所以阴影部分的面积为$(b - a)^{2}$.
(2)$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab$ 由题图2可知，边长为$a + b$的大正方形的面积减去边长为$b - a$的小正方形的面积等于四个长、宽分别为$b$，$a$的小长方形面积的和，所以$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab$.
(3)$\pm4$ 因为$(x + y)^{2}-(x - y)^{2}=4xy$，而$x + y = 5$，$xy=\frac{9}{4}$，所以$5^{2}-(x - y)^{2}=4\times\frac{9}{4}$，所以$(x - y)^{2}=16$，所以$x - y=\pm4$.
(4)$(a + b)(3a + b)=3a^{2}+4ab + b^{2}$ 长为$3a + b$，宽为$a + b$的长方形的面积为$(a + b)(3a + b)$，而该长方形由三个边长为$a$的正方形，四个长、宽分别为$b$，$a$的长方形和一个边长为$b$的正方形组成，所以$(a + b)(3a + b)=3a^{2}+4ab + b^{2}$.
(1)$(b - a)^{2}$ 由题图2可知，阴影部分为边长为$b - a$的正方形，所以阴影部分的面积为$(b - a)^{2}$.
(2)$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab$ 由题图2可知，边长为$a + b$的大正方形的面积减去边长为$b - a$的小正方形的面积等于四个长、宽分别为$b$，$a$的小长方形面积的和，所以$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab$.
(3)$\pm4$ 因为$(x + y)^{2}-(x - y)^{2}=4xy$，而$x + y = 5$，$xy=\frac{9}{4}$，所以$5^{2}-(x - y)^{2}=4\times\frac{9}{4}$，所以$(x - y)^{2}=16$，所以$x - y=\pm4$.
(4)$(a + b)(3a + b)=3a^{2}+4ab + b^{2}$ 长为$3a + b$，宽为$a + b$的长方形的面积为$(a + b)(3a + b)$，而该长方形由三个边长为$a$的正方形，四个长、宽分别为$b$，$a$的长方形和一个边长为$b$的正方形组成，所以$(a + b)(3a + b)=3a^{2}+4ab + b^{2}$.
14 已知$a + b + c = 1,a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$，求$ab + bc + ac$的值.
答案：
14. 解：因为$a + b + c = 1$，
所以$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2bc + 2ac = 1$.
因为$a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$，
所以$2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1$，
所以$ab + bc + ac=-\frac{1}{2}$，
即$ab + bc + ac$的值为$-\frac{1}{2}$.
所以$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2bc + 2ac = 1$.
因为$a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$，
所以$2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1$，
所以$ab + bc + ac=-\frac{1}{2}$，
即$ab + bc + ac$的值为$-\frac{1}{2}$.
15 计算：$(3^{2}+1)\times(3^{4}+1)\times(3^{8}+1)\times\cdots\times(3^{64}+1)\times8 + 1$.
答案：
15. 解：$(3^{2}+1)\times(3^{4}+1)\times(3^{8}+1)\times\cdots\times(3^{64}+1)\times8 + 1$
$=(3^{2}-1)\times(3^{2}+1)\times(3^{4}+1)\times(3^{8}+1)\times\cdots\times(3^{64}+1)+1$
$=(3^{4}-1)\times(3^{4}+1)\times(3^{8}+1)\times\cdots\times(3^{64}+1)+1$
$=(3^{8}-1)\times(3^{8}+1)\times\cdots\times(3^{64}+1)+1$
$=3^{128}-1 + 1$
$=3^{128}$.
$=(3^{2}-1)\times(3^{2}+1)\times(3^{4}+1)\times(3^{8}+1)\times\cdots\times(3^{64}+1)+1$
$=(3^{4}-1)\times(3^{4}+1)\times(3^{8}+1)\times\cdots\times(3^{64}+1)+1$
$=(3^{8}-1)\times(3^{8}+1)\times\cdots\times(3^{64}+1)+1$
$=3^{128}-1 + 1$
$=3^{128}$.
16 观察下列各式：
$1^{2}+(1\times2)^{2}+2^{2}=(1\times2 + 1)^{2}$；
$2^{2}+(2\times3)^{2}+3^{2}=(2\times3 + 1)^{2}$；
$3^{2}+(3\times4)^{2}+4^{2}=(3\times4 + 1)^{2}$；
……
探究以上式子的规律，试写出第$n$（$n$为正整数）个式子，并验证其正确性.
$1^{2}+(1\times2)^{2}+2^{2}=(1\times2 + 1)^{2}$；
$2^{2}+(2\times3)^{2}+3^{2}=(2\times3 + 1)^{2}$；
$3^{2}+(3\times4)^{2}+4^{2}=(3\times4 + 1)^{2}$；
……
探究以上式子的规律，试写出第$n$（$n$为正整数）个式子，并验证其正确性.
答案：
16. 解：第$n$个式子为$n^{2}+[n(n + 1)]^{2}+(n + 1)^{2}=[n(n + 1)+1]^{2}$.
因为$n^{2}+[n(n + 1)]^{2}+(n + 1)^{2}$
$=n^{2}+(n^{2}+n)^{2}+n^{2}+2n + 1$
$=n^{2}+n^{4}+2n^{3}+n^{2}+n^{2}+2n + 1$
$=n^{4}+2n^{3}+3n^{2}+2n + 1$，
$[n(n + 1)+1]^{2}$
$=[n(n + 1)]^{2}+2n(n + 1)+1$
$=(n^{2}+n)^{2}+2n^{2}+2n + 1$
$=n^{4}+2n^{3}+n^{2}+2n^{2}+2n + 1$
$=n^{4}+2n^{3}+3n^{2}+2n + 1$，
所以$n^{2}+[n(n + 1)]^{2}+(n + 1)^{2}=[n(n + 1)+1]^{2}$.
因为$n^{2}+[n(n + 1)]^{2}+(n + 1)^{2}$
$=n^{2}+(n^{2}+n)^{2}+n^{2}+2n + 1$
$=n^{2}+n^{4}+2n^{3}+n^{2}+n^{2}+2n + 1$
$=n^{4}+2n^{3}+3n^{2}+2n + 1$，
$[n(n + 1)+1]^{2}$
$=[n(n + 1)]^{2}+2n(n + 1)+1$
$=(n^{2}+n)^{2}+2n^{2}+2n + 1$
$=n^{4}+2n^{3}+n^{2}+2n^{2}+2n + 1$
$=n^{4}+2n^{3}+3n^{2}+2n + 1$，
所以$n^{2}+[n(n + 1)]^{2}+(n + 1)^{2}=[n(n + 1)+1]^{2}$.
17 两个边长分别为$a,b(a ＞ b)$的正方形如图1放置，现在取$BD$的中点$P$，连接$PA,PE$，如图2，把图形分割成三部分，分别标记为①，②，③，对应图形的面积分别记为$S_{①}$，$S_{②}$，$S_{③}$.
(1)用字母$a,b$分别表示$S_{①}$，$S_{②}$.
(2)若$a - b = 2,ab = 15$，求$S_{①}+S_{②}$.
(3)若$S_{①}+S_{②}=3,ab = 1$，求$S_{③}$.
(1)用字母$a,b$分别表示$S_{①}$，$S_{②}$.
(2)若$a - b = 2,ab = 15$，求$S_{①}+S_{②}$.
(3)若$S_{①}+S_{②}=3,ab = 1$，求$S_{③}$.
答案：
17. 解：由题意得，$AB = b$，$DE = a$，$BP = DP=\frac{1}{2}(a + b)$，
所以$S_{①}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}(a + b)b=\frac{1}{4}(ab + b^{2})$，
$S_{②}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}(a + b)a=\frac{1}{4}(a^{2}+ab)$.
(2)由
(1)得，
$S_{①}+S_{②}=\frac{1}{4}(ab + b^{2})+\frac{1}{4}(a^{2}+ab)=\frac{1}{4}(ab + b^{2}+a^{2}+ab)=\frac{1}{4}(a^{2}+2ab + b^{2})=\frac{1}{4}(a + b)^{2}=\frac{1}{4}[(a - b)^{2}+4ab]$，
当$a - b = 2$，$ab = 15$时，
$S_{①}+S_{②}=\frac{1}{4}\times(2^{2}+4\times15)=\frac{1}{4}\times(4 + 60)=16$.
(3)由
(2)知$S_{①}+S_{②}=\frac{1}{4}(a^{2}+2ab + b^{2})$，
因为$S_{①}+S_{②}=3$，$ab = 1$，
所以$\frac{1}{4}(a^{2}+2\times1 + b^{2})=3$，解得$a^{2}+b^{2}=10$，
所以$S_{③}=a^{2}+b^{2}-(S_{①}+S_{②})=10 - 3 = 7$.
所以$S_{①}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}(a + b)b=\frac{1}{4}(ab + b^{2})$，
$S_{②}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}(a + b)a=\frac{1}{4}(a^{2}+ab)$.
(2)由
(1)得，
$S_{①}+S_{②}=\frac{1}{4}(ab + b^{2})+\frac{1}{4}(a^{2}+ab)=\frac{1}{4}(ab + b^{2}+a^{2}+ab)=\frac{1}{4}(a^{2}+2ab + b^{2})=\frac{1}{4}(a + b)^{2}=\frac{1}{4}[(a - b)^{2}+4ab]$，
当$a - b = 2$，$ab = 15$时，
$S_{①}+S_{②}=\frac{1}{4}\times(2^{2}+4\times15)=\frac{1}{4}\times(4 + 60)=16$.
(3)由
(2)知$S_{①}+S_{②}=\frac{1}{4}(a^{2}+2ab + b^{2})$，
因为$S_{①}+S_{②}=3$，$ab = 1$，
所以$\frac{1}{4}(a^{2}+2\times1 + b^{2})=3$，解得$a^{2}+b^{2}=10$，
所以$S_{③}=a^{2}+b^{2}-(S_{①}+S_{②})=10 - 3 = 7$.
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