《2025年名校课堂内外九年级数学下册人教版》

11.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则cosC=______.

答案： $\frac{3}{5}$

12.(原创题)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC的中点,DE⊥AB于E,tanB=$\frac{1}{2}$,且AE=6,求DE的长.
　　　　　　　　　　　　　

答案： 解: tanB = $\frac{DE}{BE}$ = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{1}{2}$, 且BD = CD = $\frac{1}{2}$BC, 设DE = x, BE = 2x, 则BD = $\sqrt{BE^{2}+DE^{2}}$ = $\sqrt{5}$x,
∴AC = CD = BD = $\sqrt{5}$x, BC = 2$\sqrt{5}$x, AB = 2x + 6, 在Rt△ABC中, 由勾股定理, 得(2$\sqrt{5}$x)² + ($\sqrt{5}$x)² = AB²,
∴AB = 5x = 2x + 6, 解得x = 2,
∴DE = 2.

13.(核心素养.推理能力)如图,Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上,点C (1,3)在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上,且sin∠BAC=$\frac{3}{5}$.
　　　　　　　
　(1)求k的值和边AC的长;
　(2)求点B的坐标.

答案：
(1) 解: 由点C(1, 3)在反比例函数y = $\frac{k}{x}$的图象上可得k = 3, 作CD⊥AB于点D,
∴CD = 3, 在Rt△ACD中, sin∠BAC = $\frac{CD}{AC}$,
∴AC = $\frac{CD}{sin\angle BAC}$ = 5.
(2) 在Rt△ACD中, AC = 5, CD = 3,
∴AD = 4, cos∠BAC = $\frac{AD}{AC}$ = $\frac{4}{5}$, 在Rt△ABC中, cos∠BAC = $\frac{AC}{AB}$,
∴AB = $\frac{AC}{cos\angle BAC}$ = $\frac{25}{4}$, OA = AD - OD = 4 - 1 = 3, OB = AB - OA = $\frac{25}{4}$ - 3 = $\frac{13}{4}$,
∴点B的坐标为($\frac{13}{4}$, 0)

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanB=$\frac{3}{4}$，则cosA的值为　　　　　　　　　　　　(　　　)　
A.$\frac{4}{3}$　　
B.$\frac{3}{4}$　　
C.$\frac{3}{5}$　　
D.$\frac{4}{5}$

答案： C

2.如图,在Rt△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,且a:b:c=5:12:13,则cosB=______.

答案： $\frac{5}{13}$