《2025年名校课堂内外九年级数学下册人教版》

1.如图,一次函数y=kx + b(k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A(−9,0),B(0,6)两点，过点C(2,0)作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分上.
　(1)一次函数y=kx + b(k≠0)的表达式为____________;
　(2)若△ACE的面积为11,求点E的坐标.
　　　　　　　　　　　　

答案：

(1) y = $\frac{2}{3}$x + 6；
(2) 解：如图，作AE，记直线l与y轴的交点为D。因为BC⊥l，所以∠BCD = 90° = ∠BOC。因为∠OBC + ∠OCB = ∠OCD + ∠OCB，所以∠OBC = ∠OCD。又因为∠BOC = ∠COD，所以△OBC∽△OCD。所以$\frac{OB}{OC}=\frac{OC}{OD}$，因为B(0, 6)，C(2, 0)，所以OB = 6，OC = 2。则$\frac{6}{2}=\frac{2}{OD}$，所以OD = $\frac{2}{3}$，所以D(0, -$\frac{2}{3}$)。因为C(2, 0)，设直线l的解析式为y = kx + b，把C(2, 0)，D(0, -$\frac{2}{3}$)代入可得：$\begin{cases}2k + b = 0\\b = -\frac{2}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{3}\\b = -\frac{2}{3}\end{cases}$，所以直线l的解析式为y = $\frac{1}{3}$x - $\frac{2}{3}$。设E(t, $\frac{1}{3}$t - $\frac{2}{3}$)，因为A(-9, 0)，C(2, 0)，所以S△ACE = $\frac{1}{2}$AC×yE = $\frac{1}{2}$×11×($\frac{1}{3}$t - $\frac{2}{3}$) = 11。即$\frac{11}{2}$×($\frac{1}{3}$t - $\frac{2}{3}$) = 11，$\frac{1}{3}$t - $\frac{2}{3}$ = 2，$\frac{1}{3}$t = $\frac{8}{3}$，解得t = 8。所以点E的坐标为(8, 2)。

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x＞0)的图象经过点A(2,3),B(6，a),直线l:y=mx + n经过A,B两点，且分别交x轴,y轴于D,C两点.
　　　　　　　　(1)当$\frac{k}{x}$＞mx + n时,x的取值范围为______.
　　　　　　　　(2)直接写出反比例函数与直线l的解析式;
　　　　　　　　(3)在y轴上是否存在一点E,使得以A,C,E为顶点的三角形与△CDO相似？若存在，请求出点E的坐标;若不存在，请说明理由.
　　　　　　　　　

答案：

(1) 0＜x＜2或x＞6；
(2) 解：y = $\frac{6}{x}$，y = -$\frac{1}{2}$x + 4；
(3) 存在，当△COD∽△CEA时(如图①) ，可得∠CEA = ∠COD = 90°。因为直线l的解析式为y = -$\frac{1}{2}$x + 4，所以C(0, 4)，D(8, 0)。因为△COD∽△CEA，所以$\frac{CO}{OA}=\frac{CE}{DE}$，即$\frac{4}{8}=\frac{CE}{4}$，所以CE = 2，所以E(0, 3)。当△COD∽△CAE时(如图②) ，作AH⊥y轴于H，则AH = 2，H(0, 3)。因为∠CEA = ∠CDO，∠AHE = ∠COD，所以△COD∽△AHE，所以$\frac{CO}{OD}=\frac{AH}{HE}$，所以$\frac{4}{8}=\frac{2}{HE}$，所以HE = 4，所以E(0, -1)。综上，E的坐标为(0, 3)或(0, -1)。