《2025年名校课堂内外九年级数学下册人教版》

6.如图,△ABC中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的顶点E,F在△ABC内,顶点D,G分别在AB,AC上,AD=AG,DG=6,求点F到BC的距离.

答案：
解:过点A作AM⊥BC于点M,交DG于点N,延长GF交BC于点H.
∵AB = AC,AD = AG,
∴AD:AB = AG:AC.
又
∵∠BAC = ∠DAG,
∴△ADG∽△ABC,
∴∠ADG = ∠B,
∴DG//BC.
∵AM⊥BC,
∴AN⊥DG.
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥DG,
∴FH⊥BC.
∵AB = AC = 18,BC = 12,AM⊥BC,
∴BM = $\frac{1}{2}$BC = 6,
∴AM = $\sqrt{AB^{2}-BM^{2}} = 12\sqrt{2}$.
∵$\frac{AN}{AM}=\frac{DG}{BC}$,
∴$\frac{AN}{12\sqrt{2}}=\frac{6}{12}$,
∴AN = 6$\sqrt{2}$.
∴MN = AM - AN = 6$\sqrt{2}$.
∴FH = MN - GF = 6$\sqrt{2}$ - 6.

7.有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上.问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？
小颖解得此题的答案为48mm,小颖善于反思，她又提出了如下的问题.
(1)如图①,如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个并排放置的正方形所组成，此时，这个矩形零件的相邻两条边长又分别为多少毫米？
(2)如图②，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，求这个矩形面积的最大值和达到这个最大值时矩形零件的相邻两条边长.

答案：
(1)解:设矩形的边长PQ = xmm,则PN = 2xmm.
由条件可得△APN∽△ABC.
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$,
即$\frac{2x}{120}=\frac{80 - x}{80}$,
解得x = $\frac{240}{7}$.
∴PN = $\frac{240}{7}$×2 = $\frac{480}{7}$(mm).
即这个矩形零件的相邻两条边长分别为$\frac{240}{7}$mm,$\frac{480}{7}$mm.
(2)设PN = ymm.
由条件可得△APN∽△ABC,
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$,
即$\frac{y}{120}=\frac{80 - PQ}{80}$.
解得PQ = 80 - $\frac{2}{3}$y,
∴S矩形PQMN = PN·PQ = y(80 - $\frac{2}{3}$y)= - $\frac{2}{3}$y² + 80y = - $\frac{2}{3}$(y - 60)² + 2400.
∴当y = 60时，S矩形PQMN取得最大值.此时零件的相邻两条边长分别为PN = 60mm,PQ = 80 - $\frac{2}{3}$×60 = 40mm.