《2025年名校课堂内外九年级数学下册人教版》

教材母题:(教材第58页第11题)如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，这个正方形零件的边长是多少？
[母题分析](1)从总体上讲本题考查的是相似三角形的性质:相似三角形对应高的比等于相似比.
(2)解决本题的关键点:由EF//GH,得到△AEF∽△ABC.
(3)考查形式:正方形内接于三角形，解决正方形的边长与三角形边长之间的关系.

答案： 解:设正方形的边长为xmm,则EF=xmm,
∵AD⊥BC,AD = 80mm,
∴AK = (80 - x)mm.
∵正方形EFHG内接于△ABC,
∴EF//GH.
∴△AEF∽△ABC.
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$,即$\frac{x}{120}=\frac{80 - x}{80}$.解得x = 48.
∴这个正方形零件的边长是48mm.

1.如图,在△ABC中,BC=12,高AD=6,正方形EFGH的一边在BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为　　　(　　　)

A.$\frac{3}{2}$　　
B.2　　
C.$\frac{5}{2}$　　
D.3

答案： B

2.如图,矩形DEFG的边EF在△ABC的BC 边上,点D在边AB上,点G在边AC上，△ADG的面积是40,△ABC的面积是90，
AM⊥BC于M,交DG于N,则AN:AM=________.

答案： 2:3

3.如图,在△ABC中,BC=6,BC边上的高为4,在△ABC的内部作一个矩形EFGD,使EF在BC边上,另外两个顶点分别在AB,AC边上,则对角线EG长的最小值为________.

答案： $\frac{12\sqrt{13}}{13}$

4.如图,Rt△ABC(∠C=90°)中有三个内接正方形,DF=9cm,GK=6cm,求第三个正方形的边长PQ.

答案： 解:设PQ = xcm,
∵GK//PQ,
∴∠FKG = ∠KQP.
又
∵∠FGK = ∠KPQ = 90°,
∴△FGK∽△KPQ.
∴$\frac{FG}{KP}=\frac{GK}{PQ}$.
∵FG = EF - EG = 9 - 6 = 3(cm),
∴$\frac{3}{6 - x}=\frac{6}{x}$,
解得x = 4.
∴第三个正方形的边长PQ为4cm.

5.如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成矩形零件PQMN,使一边在BC上,其余两个顶点分别在边AB,AC 上.
(1)求证:△APQ∽△ABC;
(2)若这个矩形的边PN:PQ=1:2,则这个矩形的长、宽各是多少？

答案：
(1)证明:
∵四边形PNMQ为矩形，
∴MN//PQ,即PQ//BC,
∴△APQ∽△ABC.
(2)解:设宽为xmm,则长为2xmm,
∵四边形PNMQ为矩形，
∴PQ//BC,
∵AD⊥BC,
∴AD⊥PQ,
∵PN:PQ = 1:2,
∴PQ = 2xmm,PN = xmm,
∵△APQ∽△ABC,
∴$\frac{PQ}{BC}=\frac{AE}{AD}$,
由题意知PQ = 2xmm,AD = 80mm,BC = 120mm,PN = xmm,
∴$\frac{2x}{120}=\frac{80 - x}{80}$,
解得x = $\frac{240}{7}$,2x = $\frac{480}{7}$.
即长为$\frac{480}{7}$mm,宽为$\frac{240}{7}$mm.