《2025年名校课堂内外九年级数学下册人教版》

5.已知:如图，在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE//BC,点F在边AB上,BC2 =BF·BA,CF与DE相交于点G.
　(1)求证:△BCF∽△DGF;
　(2)求证:DF·AB=BC·DG;
　(3)当点E为AC中点时,求证:2DF·EG=AF·DG.

答案：

(1) 证明：因为DE//BC，所以∠FDG = ∠FBC，又∠DFG = ∠BFC，所以△BCF∽△DGF。
(2) 因为BC² = BF·BA，所以$\frac{BC}{BF}$ = $\frac{BA}{BC}$，又∠ABC = ∠CBF，所以△BAC∽△BCF。由
(1)知△BCF∽△DGF，所以△DGF∽△BAC，所以$\frac{DF}{BC}$ = $\frac{DG}{AB}$，所以DF·AB = BC·DG。
(3) 如图，作AH//BC交CF的延长线于H，因为DE//BC，所以AH//DE。因为点E为AC的中点，所以AH = 2EG。因为AH//DG，所以△AHF∽△DGF，所以$\frac{AH}{DG}$ = $\frac{AF}{DF}$，所以$\frac{2EG}{DG}$ = $\frac{AF}{DF}$，即2DF·EG = AF·DG。