《2025年课时掌控九年级数学下册人教版》

1. 如图,是一块底边 BC 长为 120 mm 的三角形余料,现要把它加工成正方形 DEFG 零件,使得正方形的四个顶点 D,E,F,G 都在三角形三边上,其中 E,F 在边 BC 上,加工后正方形的边长为 48 mm,则三角形的面积为__________.

答案： $4800\mathrm{mm}^{2}$

2. 如图,在△ABC 中,AD 是边 BC 上的高,在△ABC 的内部,作一个正方形 PQRS,若 BC = 3,AD = 2,求正方形 PQRS 的面积.

答案： 解：设正方形 $PQRS$ 的边长为 $x$，
$\because AD$ 是 $\triangle ABC$ 的高，$SR// BC$，
$\therefore AE$ 是 $\triangle ASR$ 的高，$\triangle ASR\sim\triangle ABC$，
$\therefore AE = AD - ED = 2 - x$，
$\frac{SR}{BC}=\frac{AE}{AD}$，$\therefore\frac{x}{3}=\frac{2 - x}{2}$，解得 $x = \frac{6}{5}$，
$\therefore$ 正方形 $PQRS$ 的面积为 $\frac{36}{25}$。

3. 如图,有一块面积为 48 cm² 的待加工材料△ABC,BC = 12 cm,将它加工成一个矩形零件 EFGH,矩形一边上的两个顶点 E,F 落在 BC 上,另两个顶点 H,G 分别在 AB,AC 上. 当矩形 EFGH 的面积为△ABC 面积的一半时,HE = ________.

答案： $4\mathrm{cm}$

4. 如图,矩形 DEFG 的边 EF 在△ABC 的边 BC 上,点 D 在边 AB 上,点 G 在边 AC 上,△ADG 的面积是 40,△ABC 的面积是 90,AM⊥BC 于点 M 交 DG 于点 N,则 AN:AM = ________.

答案： $2:3$

5. 如图,在△ABC 中,AB = AC = 5,BC = 6,在△ABC 中截出一个矩形 DEFG,使得点 D 在边 AB 上,EF 在边 BC 上,点 G 在边 AC 上. 若 DG = 2DE,则矩形 DEFG 的面积为________.

答案： $\frac{288}{49}$

6. 如图,有一块三角形的余料△ABC,它的高 AH = 40 mm,边 BC = 80 mm,要把它加工成一个矩形,使矩形的一边 EF 落在 BC 上,其余两个顶点 D,G 分别在 AB,AC 上.
(1)求证:△ADG∽△ABC;
(2)设 DE = x(单位:mm),矩形 DEFG 的面积为 y(单位:mm²),写出 y 与 x 的函数关系式,并求出 y 的最大值.

答案：
(1) 证明：$\because$ 四边形 $DEFG$ 是矩形，$\therefore DG// EF$，
$\therefore\triangle ADG\sim\triangle ABC$。
(2) 解：由 $\triangle ADG\sim\triangle ABC$，得 $\frac{DG}{BC}=\frac{AR}{AH}$，
$\therefore\frac{DG}{80}=\frac{AR}{40}=\frac{40 - x}{40}$，$\therefore DG = 2(40 - x)$，
则矩形面积 $y = x\cdot2(40 - x)= - 2(x - 20)^{2}+800$。
$\therefore$ 当 $x = 20$ 时，$y$ 的值最大为 $800$。