《2024年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

9. 如图,$\triangle ABC和\triangle DEF的顶点都在\odot O$上,$BC、EF$都是直径,且$AB= AC$,$DE= \frac{1}{2}EF$.求$\overset{\frown}{AF}与\overset{\frown}{CD}$的度数之和.

答案：

解：连接OA，OD，
因为BC、EF都是直径，
所以$ {\widehat{EAF }}$是半圆，∠EDF=∠BAC=90°，
即$ {\widehat{EAF }}$的度数为180°，
因为AB=AC，$DE= \frac {1}{2}EF，$
所以∠B=∠C=45°，∠F=30°，
所以∠AOC=2∠B=90°，∠DOE=2∠F=60°，
所以∠COD+∠AOF=180°+∠DOE-∠AOC=150°，
所以$ {\widehat{AF }}$与$ {\widehat{CD }}$的度数之和为150°

10. 如图,扇形$OAB的圆心角为90^{\circ}$,$C、D是\overset{\frown}{AB}$的三等分点,$AB与OC、OD分别相交于点E、F$.指出图中与$AE$相等的线段,并说明理由.

答案：
解：CD=AE=BF.理由如下：
连接AC、BD
因为C，D是$ \widehat{AB}$的三等分点
所以$ \widehat{AC}= \widehat{CD}= \widehat{BD}$
所以AC=CD=BD
∠AOC=∠COD=∠DOB
因为∠AOC=∠COD
OA=OC=OD
所以△ACO≌△DCO
所以∠ACO=∠OCD
因为∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°
$∠OCD= \frac {180°-30°}{2} =75° $
所以∠OEF=∠OCD
所以CD//AB
所以∠AEC=∠OCD
因为∠AEC=∠OCD
∠ACO=∠OCD
所以∠ACO=∠AEC
所以AC=AE
同理BF=BD
因为AC=CD=BD，BF=BD
所以CD=AE=BF

11. 如图,$A、B是\odot O$上的两点,$\angle AOB= 120^{\circ}$,$C是\overset{\frown}{AB}$的中点.
(1)试说明:$AB平分\angle OAC$.
(2)延长$OA到点P$,使$AP= OA$,连接$PC$,若$\odot O的半径为1$,求$PC$的长.

答案：

(1)证明：连接OC，如图
∵∠AOB=120°
C是弧AB的中点
∴∠AOC=∠BOC=60°
∵OA=OC
∴△ACO是等边三角形
∴OA=AC
同理可得OB=BC

(2)解：
∵△AOC是等边三角形
∴∠OAC=60°
∵OA=AC，OA=PA
∴AP=AC
∴$∠APC=∠ACP=\frac12∠OAC=30°$
∵∠AOC=60°
∴∠OCP=90°
∴△OPC是直角三角形
∴$PC=\sqrt{3}OC=\sqrt{3}$