《2024年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

9. 若关于$x的方程x^2 + bx + c = 0的两个实数根分别为1和2$,则$b = $______,$c = $______。

答案： -3
2

10. 若$3是一元二次方程x^2 - 4x + c = 0$的一个根,则方程的另一个根是______。

答案： 1

11. 若关于$x的方程x^2 + px + q = 0$的两个根互为倒数,则( )。

A.$p = -1$
B.$p = 1$
C.$q = -1$
D.$q = 1$

答案： D

12. 已知$a$、$b是关于x的方程x^2 + nx - 1 = 0$的两个根,则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的值是( )。

A.$\frac{1}{n}$
B.$-\frac{1}{n}$
C.$n$
D.$-n$

答案： C

13. 求下列方程两根的和与两根的积：
(1)$x^2 - 2x - 3 = 0$；
(2)$3x^2 = x(x + 1)$。

答案： 解：$ x_1+x_2=2$
$ x_1 \cdot x_2=-3$
解：2x²-x=0
$ x_1+x_2=\frac {1}{2}$
$ x_1 \cdot x_2=0$

14. 已知关于$x的方程x^2 + mx - 1 = 0的两个根分别是方程x^2 + x + n = 0$的两个根的相反数,求$m$、$n$的值。

答案： 解：设方程$ x^2+m x-1=0 $的两根分别为 a， b， 则
a+b=-m， a b=-1
所以 -a，-b 是方程$ x^2+x+n=0 $的两根
则 -a-b=-1，$-a \cdot(-b)=n，$ 即 a+b=1， a b=n，所以 m=-1， n=-1

15. 已知关于$x的方程x^2 + (2m - 1)x + m^2 = 0有两个实数根x_1和x_2$。
(1) 求实数$m$的取值范围；
(2) 当$x_1^2 - x_2^2 = 0$时,求$m$的值。

答案：
(2)解：当x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0时，即
(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})=0
∴x_{1}+x_{2}=0或x_{1}-x_{2}=0
当x_{1}+x_{2}=0时，根据一元二次方程的根与系
数的关系，可得
x_{1}+x_{2}=-(2m-1)
∴-(2m-1)=0
∴$m=\frac{1}{2}$
又
∵由
(1)，一元二次方程
x^{2}+(2m-1)x+m^{2}=0有两个实数根时m的
取值范围是$m≤\frac{1}{4}$
∴$m=\frac{1}{2}$不成立，故m无解
当x_{1}-x_{2}=0时，x_{1}=x_{2}
方程有两个相等的实数根
∴b^{2}-4ac=(2m-1)^{2}-4×1×m=-4m+1=0
∴$m=\frac{1}{4}\ $
综上所述，当x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0时$m=\frac{1}{4}$

16. 已知$x_1$、$x_2是方程x^2 + 6x + 3 = 0$的两个实数根,求下列代数式的值：
(1)$(x_1 + 1)(x_2 + 1)$；
(2)$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$。

答案： 解：x_{1}+x_{2}=-6
$x_{1}\cdot x_{2}=3$
原式$=x_{1}\cdot x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=-2$
解：x_{1}+x_{2}=-6
$x_{1}\cdot x_{2}=3$
原式$=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}\cdot x_{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}=10$