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1. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的 2 倍，则称这个点为二倍点. 若二次函数 $ y = x^{2} - x + c $($ c $ 为常数)在 $ - 2 ＜ x ＜ 4 $ 的图像上存在两个二倍点，则 $ c $ 的取值范围是(
A.$ - 2 ＜ c ＜ \frac{1}{4} $
B.$ - 4 ＜ c ＜ \frac{9}{4} $
C.$ - 4 ＜ c ＜ \frac{1}{4} $
D.$ - 10 ＜ c ＜ \frac{9}{4} $
B
)A.$ - 2 ＜ c ＜ \frac{1}{4} $
B.$ - 4 ＜ c ＜ \frac{9}{4} $
C.$ - 4 ＜ c ＜ \frac{1}{4} $
D.$ - 10 ＜ c ＜ \frac{9}{4} $
答案：
1. B
2. 在平面直角坐标系中，设二次函数 $ y = (x + a)(x - a - 1)(a ＞ 0) $.
(1) 求二次函数图像的对称轴；
(2) 若当 $ - 1 ≤ x ≤ 3 $ 时，函数的最大值为 4，求此二次函数图像的顶点坐标；
(3) 已知抛物线上两点 $ M(x_{1},y_{1}) $，$ N(x_{2},y_{2}) $，若对于 $ t ＜ x_{1} ＜ t + 1 $，$ t + 2 ＜ x_{2} ＜ t + 3 $ 都有 $ y_{1} ≠ y_{2} $，求 $ t $ 的取值范围.
(1) 求二次函数图像的对称轴；
(2) 若当 $ - 1 ≤ x ≤ 3 $ 时，函数的最大值为 4，求此二次函数图像的顶点坐标；
(3) 已知抛物线上两点 $ M(x_{1},y_{1}) $，$ N(x_{2},y_{2}) $，若对于 $ t ＜ x_{1} ＜ t + 1 $，$ t + 2 ＜ x_{2} ＜ t + 3 $ 都有 $ y_{1} ≠ y_{2} $，求 $ t $ 的取值范围.
答案：
2. 解：$y=(x+a)(x-a-1)=x^{2}-x-a^{2}-a$。
(1) 二次函数图像的对称轴是直线$x=\frac{-1}{-2×1}=\frac{1}{2}$。
(2) $\because$ 二次函数$y=(x+a)(x-a-1)$的图像开口向上，$\frac{1}{2}-(-1)＜3-\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 当$-1≤x≤3$时，当$x=3$时，二次函数$y=(x+a)(x-a-1)$取得最大值，是4，
$\therefore$ 当$x=3$时，$y=x^{2}-x-a^{2}-a=9-3-a^{2}-a=4$，
$\therefore a^{2}+a-2=0$，$\therefore a_{1}=1$，$a_{2}=-2$。
$\because a＞0$，$\therefore a=1$，
$\therefore y=x^{2}-x-a^{2}-a=x^{2}-x-2=(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{9}{4}$，
$\therefore$ 此二次函数图像的顶点坐标是$(\frac{1}{2},-\frac{9}{4})$。
(3) $\because$ 抛物线上两点$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$，对于$t＜x_{1}＜t+1$，$t+2＜x_{2}＜t+3$都有$y_{1}≠y_{2}$，
$\therefore$ 点$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$不关于对称轴$x=\frac{1}{2}$对称，
$\therefore x_{1}+x_{2}≠1$。$\because t＜x_{1}＜t+1$，$t+2＜x_{2}＜t+3$，
$\therefore 2t+2＜x_{1}+x_{2}＜2t+4$，$\therefore 2t+2≥1$或$2t+4≤1$，
$\therefore t≥-\frac{1}{2}$或$t≤-\frac{3}{2}$。
(1) 二次函数图像的对称轴是直线$x=\frac{-1}{-2×1}=\frac{1}{2}$。
(2) $\because$ 二次函数$y=(x+a)(x-a-1)$的图像开口向上，$\frac{1}{2}-(-1)＜3-\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 当$-1≤x≤3$时，当$x=3$时，二次函数$y=(x+a)(x-a-1)$取得最大值，是4，
$\therefore$ 当$x=3$时，$y=x^{2}-x-a^{2}-a=9-3-a^{2}-a=4$，
$\therefore a^{2}+a-2=0$，$\therefore a_{1}=1$，$a_{2}=-2$。
$\because a＞0$，$\therefore a=1$，
$\therefore y=x^{2}-x-a^{2}-a=x^{2}-x-2=(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{9}{4}$，
$\therefore$ 此二次函数图像的顶点坐标是$(\frac{1}{2},-\frac{9}{4})$。
(3) $\because$ 抛物线上两点$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$，对于$t＜x_{1}＜t+1$，$t+2＜x_{2}＜t+3$都有$y_{1}≠y_{2}$，
$\therefore$ 点$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$不关于对称轴$x=\frac{1}{2}$对称，
$\therefore x_{1}+x_{2}≠1$。$\because t＜x_{1}＜t+1$，$t+2＜x_{2}＜t+3$，
$\therefore 2t+2＜x_{1}+x_{2}＜2t+4$，$\therefore 2t+2≥1$或$2t+4≤1$，
$\therefore t≥-\frac{1}{2}$或$t≤-\frac{3}{2}$。
3. 在平面直角坐标系中，点 $ A(x_{1},y_{1}) $，$ B(x_{2},y_{2}) $ 在过点 $ P(0,3) $ 的抛物线 $ y = x^{2} - nx + c(n ＞ 0) $ 上.
(1) 请求出 $ c $ 的值；
(2) 若 $ x_{1} $，$ x_{2} $ 满足 $ 0 ＜ x_{1} ＜ 1 $，$ 1 ＜ x_{2} ＜ 2 $ 时，都有 $ y_{1} ＜ y_{2} $，试求 $ n $ 的取值范围；
(3) 当 $ x_{1} = m - 2 $，$ x_{2} = 4 $，$ y_{1} ＜ y_{2} ＜ 3 $ 时，点 $ C(m,y_{1}) $ 恰好在该抛物线上，请求出 $ m $ 的取值范围.
(1) 请求出 $ c $ 的值；
(2) 若 $ x_{1} $，$ x_{2} $ 满足 $ 0 ＜ x_{1} ＜ 1 $，$ 1 ＜ x_{2} ＜ 2 $ 时，都有 $ y_{1} ＜ y_{2} $，试求 $ n $ 的取值范围；
(3) 当 $ x_{1} = m - 2 $，$ x_{2} = 4 $，$ y_{1} ＜ y_{2} ＜ 3 $ 时，点 $ C(m,y_{1}) $ 恰好在该抛物线上，请求出 $ m $ 的取值范围.
答案：
3. 解：
(1) 将$(0,3)$代入$y=x^{2}-nx+c$，得
$3=0-0+c$，解得$c=3$。
(2) 抛物线$y=x^{2}-nx+c$的对称轴为直线$x=\frac{n}{2}$。
$\because x_{1}$，$x_{2}$满足$0＜x_{1}＜1$，$1＜x_{2}＜2$时，都有$y_{1}＜y_{2}$，
$\therefore \frac{1}{2}＜\frac{x_{1}+x_{2}}{2}＜\frac{3}{2}$。
$\because$ 抛物线的开口向上，$y_{1}＜y_{2}$，
$\therefore$ 点$A(x_{1},y_{1})$比$B(x_{2},y_{2})$更靠近对称轴。
又$\because x_{1}＜x_{2}$，$\therefore AB$的中点在对称轴的右侧，
$\therefore \frac{x_{1}+x_{2}}{2}＞\frac{n}{2}$，$\therefore \frac{n}{2}≤\frac{1}{2}$，
$\therefore n≤1$。又$\because n＞0$，$\therefore 0＜n≤1$。
(3) 抛物线$y=x^{2}-nx+c$的对称轴为直线$x=\frac{n}{2}$。
$\because$ 点$A(m-2,y_{1})$，$C(m,y_{1})$都在该抛物线上，
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{m-2+m}{2}=m-1$。
$\therefore \frac{n}{2}=m-1$。$\because n＞0$，$\therefore m-1＞0$，解得$m＞1$。
$\because m-2＜m$，$\therefore$ 点$A$在对称轴左侧，点$C$在对称轴右侧，
$\therefore$ 点$P(0,3)$关于对称轴直线$x=m-1$的对称点为$(2m-2,3)$。
$\because y_{2}＜3$，$\therefore 4＜2m-2$，解得$m＞3$。
① 当点$A(m-2,y_{1})$，$B(4,y_{2})$都在对称轴左侧时，
$\because y$随$x$的增大而减小，且$y_{1}＜y_{2}$，$\therefore 4＜m-2$。
解得$m＞6$。
② 当点$A(m-2,y_{1})$在对称轴左侧，点$B(4,y_{2})$在对称轴右侧时，$\because y_{1}＜y_{2}$，
$\therefore$ 点$B(4,y_{2})$比点$A(m-2,y_{1})$到对称轴直线$x=m-1$的距离更大，$\therefore 4-(m-1)＞m-1-(m-2)$。
解得$m＜4$。又$\because m＞3$，$\therefore 3＜m＜4$。
综上所述，$m$的取值范围是$3＜m＜4$或$m＞6$。
(1) 将$(0,3)$代入$y=x^{2}-nx+c$，得
$3=0-0+c$，解得$c=3$。
(2) 抛物线$y=x^{2}-nx+c$的对称轴为直线$x=\frac{n}{2}$。
$\because x_{1}$，$x_{2}$满足$0＜x_{1}＜1$，$1＜x_{2}＜2$时，都有$y_{1}＜y_{2}$，
$\therefore \frac{1}{2}＜\frac{x_{1}+x_{2}}{2}＜\frac{3}{2}$。
$\because$ 抛物线的开口向上，$y_{1}＜y_{2}$，
$\therefore$ 点$A(x_{1},y_{1})$比$B(x_{2},y_{2})$更靠近对称轴。
又$\because x_{1}＜x_{2}$，$\therefore AB$的中点在对称轴的右侧，
$\therefore \frac{x_{1}+x_{2}}{2}＞\frac{n}{2}$，$\therefore \frac{n}{2}≤\frac{1}{2}$，
$\therefore n≤1$。又$\because n＞0$，$\therefore 0＜n≤1$。
(3) 抛物线$y=x^{2}-nx+c$的对称轴为直线$x=\frac{n}{2}$。
$\because$ 点$A(m-2,y_{1})$，$C(m,y_{1})$都在该抛物线上，
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{m-2+m}{2}=m-1$。
$\therefore \frac{n}{2}=m-1$。$\because n＞0$，$\therefore m-1＞0$，解得$m＞1$。
$\because m-2＜m$，$\therefore$ 点$A$在对称轴左侧，点$C$在对称轴右侧，
$\therefore$ 点$P(0,3)$关于对称轴直线$x=m-1$的对称点为$(2m-2,3)$。
$\because y_{2}＜3$，$\therefore 4＜2m-2$，解得$m＞3$。
① 当点$A(m-2,y_{1})$，$B(4,y_{2})$都在对称轴左侧时，
$\because y$随$x$的增大而减小，且$y_{1}＜y_{2}$，$\therefore 4＜m-2$。
解得$m＞6$。
② 当点$A(m-2,y_{1})$在对称轴左侧，点$B(4,y_{2})$在对称轴右侧时，$\because y_{1}＜y_{2}$，
$\therefore$ 点$B(4,y_{2})$比点$A(m-2,y_{1})$到对称轴直线$x=m-1$的距离更大，$\therefore 4-(m-1)＞m-1-(m-2)$。
解得$m＜4$。又$\because m＞3$，$\therefore 3＜m＜4$。
综上所述，$m$的取值范围是$3＜m＜4$或$m＞6$。
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