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1. 如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的对称轴为直线$x = -1$，且该抛物线与$x$轴交于点$A(1,0)$，与$y$轴的交点$B$在$(0,-2)$和$(0,-3)$之间(不含端点)，则下列结论：①$abc＞0$；②$9a - 3b + c＞0$；③$\frac{2}{3}＜a＜1$；④若方程$ax^{2}+bx + c = x + 1$的两根为$m,n(m ＜ n)$，则$-3 ＜ m ＜ 1 ＜ n$. 正确的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：
1. B 点拨：
∵抛物线开口向上，
∴a＞0.
∵对称轴为直线x=-1＜0，a，b同号，
∴b＞0.
∵与y轴的交点B在(0，-2)和(0，-3)之间，
∴-3＜c＜-2＜0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵对称轴为直线x=-1，且该抛物线与x轴交于点A(1，0)，
∴与x轴交于另一点(-3，0).
∵x=-3，y=9a-3b+c=0，故②不正确；
由题意，可得方程ax²+bx+c=0的两个根为x₁=1，x₂=-3，又
∵x₁·x₂=$\frac{c}{a}$，
∴c=-3a.
∵-3＜c＜-2，
∴-3＜-3a＜-2，因此$\frac{2}{3}$＜a＜1，
故③正确；
若方程ax²+bx+c=x+1的两根为m，n(m＜n)，则直线y=x+1与抛物线的交点的横坐标为m，n.
∵直线y=x+1过第一、二、三象限，且过点(-1，0)，
∴直线y=x+1与抛物线的交点在第一、三象限，
由图像可知-3＜m＜1＜n.故④正确.
综上所述，正确的结论是③④.
∵抛物线开口向上，
∴a＞0.
∵对称轴为直线x=-1＜0，a，b同号，
∴b＞0.
∵与y轴的交点B在(0，-2)和(0，-3)之间，
∴-3＜c＜-2＜0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵对称轴为直线x=-1，且该抛物线与x轴交于点A(1，0)，
∴与x轴交于另一点(-3，0).
∵x=-3，y=9a-3b+c=0，故②不正确；
由题意，可得方程ax²+bx+c=0的两个根为x₁=1，x₂=-3，又
∵x₁·x₂=$\frac{c}{a}$，
∴c=-3a.
∵-3＜c＜-2，
∴-3＜-3a＜-2，因此$\frac{2}{3}$＜a＜1，
故③正确；
若方程ax²+bx+c=x+1的两根为m，n(m＜n)，则直线y=x+1与抛物线的交点的横坐标为m，n.
∵直线y=x+1过第一、二、三象限，且过点(-1，0)，
∴直线y=x+1与抛物线的交点在第一、三象限，
由图像可知-3＜m＜1＜n.故④正确.
综上所述，正确的结论是③④.
2. (2024·武汉)抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a,b,c$是常数，$a ＜ 0)$经过$(-1,1),(m,1)$两点，且$0 ＜ m ＜ 1$. 给出下列四个结论：①$b＞0$；②若$0 ＜ x ＜ 1$，则$a(x - 1)^{2}+b(x - 1)+c＞1$；③若$a = -1$，则关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 2$无实数解；④点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$在抛物线上，若$x_{1}+x_{2}＞-\frac{1}{2}$，$x_{1}＞x_{2}$，总有$y_{1}＜y_{2}$，则$0 ＜ m≤\frac{1}{2}$. 其中正确的结论是
②③④
.(填序号)
答案：
2. ②③④ 点拨：
∵y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a＜0)经过(-1，1)，(m，1)两点，且0＜m＜1，
∴对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{-1+m}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜$\frac{-1+m}{2}$＜0，
∴x=-$\frac{b}{2a}$＜0.
∵a＜0，
∴b＜0，故①错误；
∵0＜m＜1，
∴m-(-1)＞1，即(-1，1)，(m，1)两点之间的距离大于1.
∵0＜x＜1，
∴-1＜x-1＜0.
∵a＜0，
∴a(x-1)²+b(x-1)+c＞1，故②正确；
由①可得-$\frac{1}{2}$＜$\frac{-1+m}{2}$＜0，
∴-$\frac{1}{2}$＜$\frac{b}{2}$＜0，即-1＜b＜0，
当a=-1时，抛物线的函数表达式为y=-x²+bx+c，
设顶点的纵坐标为t=$\frac{4ac-b²}{4a}$=$\frac{-4c-b²}{-4}$，
∵抛物线y=-x²+bx+c(a，b，c是常数，a＜0)经过点(-1，1)，
∴-1-b+c=1，
∴c=b+2，
∴t=$\frac{-4c-b²}{-4}$=$\frac{b²+4c}{4}$=$\frac{1}{4}$b²+c=$\frac{1}{4}$b²+b+2=$\frac{1}{4}$(b+2)²+1.
∵-1＜b＜0，$\frac{1}{4}$＞0，对称轴为直线b=-2，
∴当b=0时，t取得最大值为2，而b＜0，
∴关于x的一元二次方程ax²+bx+c=2无解，故③正确；
∵a＜0，抛物线开口向下，点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在抛物线上，x₁+x₂＞-$\frac{1}{2}$，x₁＞x₂，总有y₁＜y₂，
又x=$\frac{x₁+x₂}{2}$＞-$\frac{1}{4}$，
∴点A(x₁，y₁)离直线x=$\frac{-1+m}{2}$较远，
∴-$\frac{1}{2}$＜$\frac{-1+m}{2}$≤-$\frac{1}{4}$，解得0＜m≤$\frac{1}{2}$，故④正确.
∵y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a＜0)经过(-1，1)，(m，1)两点，且0＜m＜1，
∴对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{-1+m}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜$\frac{-1+m}{2}$＜0，
∴x=-$\frac{b}{2a}$＜0.
∵a＜0，
∴b＜0，故①错误；
∵0＜m＜1，
∴m-(-1)＞1，即(-1，1)，(m，1)两点之间的距离大于1.
∵0＜x＜1，
∴-1＜x-1＜0.
∵a＜0，
∴a(x-1)²+b(x-1)+c＞1，故②正确；
由①可得-$\frac{1}{2}$＜$\frac{-1+m}{2}$＜0，
∴-$\frac{1}{2}$＜$\frac{b}{2}$＜0，即-1＜b＜0，
当a=-1时，抛物线的函数表达式为y=-x²+bx+c，
设顶点的纵坐标为t=$\frac{4ac-b²}{4a}$=$\frac{-4c-b²}{-4}$，
∵抛物线y=-x²+bx+c(a，b，c是常数，a＜0)经过点(-1，1)，
∴-1-b+c=1，
∴c=b+2，
∴t=$\frac{-4c-b²}{-4}$=$\frac{b²+4c}{4}$=$\frac{1}{4}$b²+c=$\frac{1}{4}$b²+b+2=$\frac{1}{4}$(b+2)²+1.
∵-1＜b＜0，$\frac{1}{4}$＞0，对称轴为直线b=-2，
∴当b=0时，t取得最大值为2，而b＜0，
∴关于x的一元二次方程ax²+bx+c=2无解，故③正确；
∵a＜0，抛物线开口向下，点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在抛物线上，x₁+x₂＞-$\frac{1}{2}$，x₁＞x₂，总有y₁＜y₂，
又x=$\frac{x₁+x₂}{2}$＞-$\frac{1}{4}$，
∴点A(x₁，y₁)离直线x=$\frac{-1+m}{2}$较远，
∴-$\frac{1}{2}$＜$\frac{-1+m}{2}$≤-$\frac{1}{4}$，解得0＜m≤$\frac{1}{2}$，故④正确.
3. 已知二次函数$y = -x^{2}+bx + c(b,c$为常数).
(1) 当$y = 0$时，与其对应的$x$的值分别是$-2$和$4$，求二次函数的顶点坐标；
(2) 当$c = -4$时，抛物线$y = -x^{2}+bx + c$的顶点在直线$y = 1$上，求二次函数的表达式；
(3) 当$c = b^{2}$，且$b≤ x≤ b + 3$时，$y = -x^{2}+bx + c$的最大值为$20$，求$b$的值.
(1) 当$y = 0$时，与其对应的$x$的值分别是$-2$和$4$，求二次函数的顶点坐标；
(2) 当$c = -4$时，抛物线$y = -x^{2}+bx + c$的顶点在直线$y = 1$上，求二次函数的表达式；
(3) 当$c = b^{2}$，且$b≤ x≤ b + 3$时，$y = -x^{2}+bx + c$的最大值为$20$，求$b$的值.
答案：
3. 解：
(1)
∵当y=0时，与其对应的x的值分别是-2和4，
∴$\begin{cases}-4-2b+c=0，\\-16+4b+c=0，\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2，\\c=8，\end{cases}$
则y=-x²+2x+8，即y=-(x-1)²+9，
∴二次函数的顶点坐标是(1，9).
(2)当c=-4时，二次函数的表达式为y=-x²+bx-4，
∵抛物线y=-x²+bx+c的顶点在直线y=1上，
∴抛物线y=-x²+bx+c与直线y=1有唯一的公共点，即方程-x²+bx-4=1有两个相等的实数根，
∴b²-20=0，解得b=±2$\sqrt{5}$，
∴此时二次函数的表达式为y=-x²+2$\sqrt{5}$x-4或y=-x²-2$\sqrt{5}$x-4.
(3)当c=b²时，y=-x²+bx+b²，
它的图像开口向下，对称轴为直线x=$\frac{b}{2}$.
①若$\frac{b}{2}$＜b，即b＞0，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而减小，
故当x=b时，y=-b²+b·b+b²=b²为最大值，
∴b²=20，解得b=2$\sqrt{5}$或b=-2$\sqrt{5}$(舍去)；
②若b≤$\frac{b}{2}$≤b+3，即-6≤b≤0，
故当x=$\frac{b}{2}$时，y=-($\frac{b}{2}$)²+b·$\frac{b}{2}$+b²=$\frac{5}{4}$b²为最大值，
∴$\frac{5}{4}$b²=20，解得b=4(舍去)或b=-4；
③若$\frac{b}{2}$＞b+3，即b＜-6，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而增大，
故当x=b+3时，y=-(b+3)²+b·(b+3)+b²=b²-3b-9为最大值，
∴b²-3b-9=20，解得b=$\frac{3±5\sqrt{5}}{2}$(舍去).
综上所述，b=2$\sqrt{5}$或b=-4.
(1)
∵当y=0时，与其对应的x的值分别是-2和4，
∴$\begin{cases}-4-2b+c=0，\\-16+4b+c=0，\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2，\\c=8，\end{cases}$
则y=-x²+2x+8，即y=-(x-1)²+9，
∴二次函数的顶点坐标是(1，9).
(2)当c=-4时，二次函数的表达式为y=-x²+bx-4，
∵抛物线y=-x²+bx+c的顶点在直线y=1上，
∴抛物线y=-x²+bx+c与直线y=1有唯一的公共点，即方程-x²+bx-4=1有两个相等的实数根，
∴b²-20=0，解得b=±2$\sqrt{5}$，
∴此时二次函数的表达式为y=-x²+2$\sqrt{5}$x-4或y=-x²-2$\sqrt{5}$x-4.
(3)当c=b²时，y=-x²+bx+b²，
它的图像开口向下，对称轴为直线x=$\frac{b}{2}$.
①若$\frac{b}{2}$＜b，即b＞0，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而减小，
故当x=b时，y=-b²+b·b+b²=b²为最大值，
∴b²=20，解得b=2$\sqrt{5}$或b=-2$\sqrt{5}$(舍去)；
②若b≤$\frac{b}{2}$≤b+3，即-6≤b≤0，
故当x=$\frac{b}{2}$时，y=-($\frac{b}{2}$)²+b·$\frac{b}{2}$+b²=$\frac{5}{4}$b²为最大值，
∴$\frac{5}{4}$b²=20，解得b=4(舍去)或b=-4；
③若$\frac{b}{2}$＞b+3，即b＜-6，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而增大，
故当x=b+3时，y=-(b+3)²+b·(b+3)+b²=b²-3b-9为最大值，
∴b²-3b-9=20，解得b=$\frac{3±5\sqrt{5}}{2}$(舍去).
综上所述，b=2$\sqrt{5}$或b=-4.
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