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1. 已知抛物线 $y_{1}=x^{2}+4x+3$，$y_{2}=-x^{2}-x+a$，若这两条抛物线与 $x$ 轴共有 3 个交点，则 $a$ 的值为
$-\frac{1}{4}$或0或6
.
答案：
1. $-\frac{1}{4}$或0或6
2. 已知二次函数 $y=ax^{2}-2ax+c(a＞0)$.
(1) 若二次函数的图像经过点 $A(1,0)$，$B(2,4)$，求这个二次函数的表达式；
(2) 该函数图像与 $x$ 轴只有一个交点时，将该图像向上平移 2 个单位长度恰好经过点 $(4,8)$，当 $m≤ x≤ n$ 时，$2m≤ y≤ 2n$，求 $m - n$ 的值.
(1) 若二次函数的图像经过点 $A(1,0)$，$B(2,4)$，求这个二次函数的表达式；
(2) 该函数图像与 $x$ 轴只有一个交点时，将该图像向上平移 2 个单位长度恰好经过点 $(4,8)$，当 $m≤ x≤ n$ 时，$2m≤ y≤ 2n$，求 $m - n$ 的值.
答案：
2. 解：
(1)
∵二次函数的图像经过点$A(1,0)$，$B(2,4)$，
∴$\{\begin{array}{l} a - 2a + c = 0,\\ 4a - 4a + c = 4,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a = 4,\\ c = 4,\end{array} $
∴这个二次函数的表达式为$y = 4x^{2} - 8x + 4$．
(2)
∵将该图像向上平移2个单位长度恰好经过点$(4,8)$，
∴原抛物线一定经过点$(4,6)$．
∴$16a - 8a + c = 6$．
∵该函数图像与x轴只有一个交点，
∴该函数图像的顶点在x轴上．
∵二次函数$y = ax^{2} - 2ax + c(a ＞ 0)$的图像对称轴为直线$x = 1$，
∴该函数图像的顶点坐标为$(1,-a + c)$，
∴$-a + c = 0$．
联立$\{\begin{array}{l} -a + c = 0,\\ 16a - 8a + c = 6,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a = \frac{2}{3},\\ c = \frac{2}{3},\end{array} $
∴原抛物线的函数表达式为$y = \frac{2}{3}x^{2} - \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$，
∴平移后的抛物线的函数表达式为$y = \frac{2}{3}x^{2} - \frac{4}{3}x + \frac{8}{3}$，顶点坐标为$(1,2)$．
①当$m ＜ n ＜ 1$时，y随x的增大而减小，
∵$m ＜ n$，
∴$2m ＜ 2n$．
∵当$m ≤ x ≤ n$时，$2m ≤ y ≤ 2n$，
∴$\{\begin{array}{l} \frac{2}{3}m^{2} - \frac{4}{3}m + \frac{8}{3} = 2n,\\ \frac{2}{3}n^{2} - \frac{4}{3}n + \frac{8}{3} = 2m,\\ m ＜ n ＜ 1,\end{array} $无解．
②当$m ＜ 1 ＜ n$时，$y_{min} = 2$，不合题意，舍去；
③当$1 ≤ m ＜ n$时，y随x的增大而增大，
∵$m ＜ n$，
∴$2m ＜ 2n$．
∵当$m ≤ x ≤ n$时，$2m ≤ y ≤ 2n$，
∴$\{\begin{array}{l} \frac{2}{3}m^{2} - \frac{4}{3}m + \frac{8}{3} = 2m,\\ \frac{2}{3}n^{2} - \frac{4}{3}n + \frac{8}{3} = 2n,\\ 1 ≤ m ＜ n,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} m = 1,\\ n = 4,\end{array} $
∴$m - n = - 3$．
(1)
∵二次函数的图像经过点$A(1,0)$，$B(2,4)$，
∴$\{\begin{array}{l} a - 2a + c = 0,\\ 4a - 4a + c = 4,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a = 4,\\ c = 4,\end{array} $
∴这个二次函数的表达式为$y = 4x^{2} - 8x + 4$．
(2)
∵将该图像向上平移2个单位长度恰好经过点$(4,8)$，
∴原抛物线一定经过点$(4,6)$．
∴$16a - 8a + c = 6$．
∵该函数图像与x轴只有一个交点，
∴该函数图像的顶点在x轴上．
∵二次函数$y = ax^{2} - 2ax + c(a ＞ 0)$的图像对称轴为直线$x = 1$，
∴该函数图像的顶点坐标为$(1,-a + c)$，
∴$-a + c = 0$．
联立$\{\begin{array}{l} -a + c = 0,\\ 16a - 8a + c = 6,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a = \frac{2}{3},\\ c = \frac{2}{3},\end{array} $
∴原抛物线的函数表达式为$y = \frac{2}{3}x^{2} - \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$，
∴平移后的抛物线的函数表达式为$y = \frac{2}{3}x^{2} - \frac{4}{3}x + \frac{8}{3}$，顶点坐标为$(1,2)$．
①当$m ＜ n ＜ 1$时，y随x的增大而减小，
∵$m ＜ n$，
∴$2m ＜ 2n$．
∵当$m ≤ x ≤ n$时，$2m ≤ y ≤ 2n$，
∴$\{\begin{array}{l} \frac{2}{3}m^{2} - \frac{4}{3}m + \frac{8}{3} = 2n,\\ \frac{2}{3}n^{2} - \frac{4}{3}n + \frac{8}{3} = 2m,\\ m ＜ n ＜ 1,\end{array} $无解．
②当$m ＜ 1 ＜ n$时，$y_{min} = 2$，不合题意，舍去；
③当$1 ≤ m ＜ n$时，y随x的增大而增大，
∵$m ＜ n$，
∴$2m ＜ 2n$．
∵当$m ≤ x ≤ n$时，$2m ≤ y ≤ 2n$，
∴$\{\begin{array}{l} \frac{2}{3}m^{2} - \frac{4}{3}m + \frac{8}{3} = 2m,\\ \frac{2}{3}n^{2} - \frac{4}{3}n + \frac{8}{3} = 2n,\\ 1 ≤ m ＜ n,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} m = 1,\\ n = 4,\end{array} $
∴$m - n = - 3$．
3. 已知一次函数 $y=x - 5$ 的图像与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于点 $A$，$B$. 将点 $A$ 向左平移 4 个单位长度，得到点 $A'$，且点 $A'$ 恰好在二次函数 $y=ax^{2}+bx - 3$（$a$，$b$ 是常数，$a≠0$）图像的对称轴上.
(1) 用含 $a$ 的代数式表示 $b$；
(2) 求证：二次函数与一次函数的图像交于一个定点，并求出该点的坐标；
(3) 若二次函数的图像与线段 $AB$ 恰有一个公共点，结合函数图像，求 $a$ 的取值范围.
(1) 用含 $a$ 的代数式表示 $b$；
(2) 求证：二次函数与一次函数的图像交于一个定点，并求出该点的坐标；
(3) 若二次函数的图像与线段 $AB$ 恰有一个公共点，结合函数图像，求 $a$ 的取值范围.
答案：
3. 解：
(1)令$y = 0$，则$x = 5$，
∴$A(5,0)$，将点A向左平移4个单位长度，得到点$A'(1,0)$．
∵点$A'$恰好在二次函数$y = ax^{2} + bx - 3$（a，b是常数，$a ≠ 0$）图像的对称轴上．
∴$-\frac{b}{2a} = 1$，即$b = - 2a$．
(2)由$\{\begin{array}{l} y = ax^{2} + bx - 3,\\ y = x - 5,\end{array} $得$ax^{2} + (-2a - 1)x + 2 = 0$，化简，得$(ax - 1)(x - 2) = 0$，
解得$x_{1} = \frac{1}{a}$，$x_{2} = 2$，
∴二次函数与一次函数的图像必定交于一个定点，该点的坐标为$(2,-3)$．
(3)①当$a ＜ 0$时，
∵二次函数的图像与y轴交于点$(0,-3)$，一次函数与y轴交于点$(0,-5)$，
又
∵两函数的图像必定交于一个定点$(2,-3)$，
∴由图像可得，$a ＜ 0$时，均符合题意；
②当$a ＞ 0$时，由图像可得，当$x = 5$时，$y ＜ 0$，或者二次函数的图像与线段AB只有一个交点$(2,-3)$时，符合题意．
当$x = 5$时，$y = 25a - 10a - 3 ＜ 0$，解得$a ＜ \frac{1}{5}$．
当二次函数的图像与线段AB只有一个交点$(2,-3)$时，
由$\{\begin{array}{l} y = ax^{2} + bx - 3,\\ y = x - 5,\end{array} $得$ax^{2} + (-2a - 1)x + 2 = 0$，
由$(-2a - 1)^{2} - 8a = 0$，解得$a = \frac{1}{2}$．
综上所述，a的取值范围是$a ＜ 0$或$0 ＜ a ＜ \frac{1}{5}$或$a = \frac{1}{2}$．
(1)令$y = 0$，则$x = 5$，
∴$A(5,0)$，将点A向左平移4个单位长度，得到点$A'(1,0)$．
∵点$A'$恰好在二次函数$y = ax^{2} + bx - 3$（a，b是常数，$a ≠ 0$）图像的对称轴上．
∴$-\frac{b}{2a} = 1$，即$b = - 2a$．
(2)由$\{\begin{array}{l} y = ax^{2} + bx - 3,\\ y = x - 5,\end{array} $得$ax^{2} + (-2a - 1)x + 2 = 0$，化简，得$(ax - 1)(x - 2) = 0$，
解得$x_{1} = \frac{1}{a}$，$x_{2} = 2$，
∴二次函数与一次函数的图像必定交于一个定点，该点的坐标为$(2,-3)$．
(3)①当$a ＜ 0$时，
∵二次函数的图像与y轴交于点$(0,-3)$，一次函数与y轴交于点$(0,-5)$，
又
∵两函数的图像必定交于一个定点$(2,-3)$，
∴由图像可得，$a ＜ 0$时，均符合题意；
②当$a ＞ 0$时，由图像可得，当$x = 5$时，$y ＜ 0$，或者二次函数的图像与线段AB只有一个交点$(2,-3)$时，符合题意．
当$x = 5$时，$y = 25a - 10a - 3 ＜ 0$，解得$a ＜ \frac{1}{5}$．
当二次函数的图像与线段AB只有一个交点$(2,-3)$时，
由$\{\begin{array}{l} y = ax^{2} + bx - 3,\\ y = x - 5,\end{array} $得$ax^{2} + (-2a - 1)x + 2 = 0$，
由$(-2a - 1)^{2} - 8a = 0$，解得$a = \frac{1}{2}$．
综上所述，a的取值范围是$a ＜ 0$或$0 ＜ a ＜ \frac{1}{5}$或$a = \frac{1}{2}$．
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