《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. (2024·深圳期末)已知四边形 $ABCD$ 中,$E,F$ 分别是 $AB,AD$ 边上的点,$DE$ 与 $CF$ 交于点 $G$.
【问题发现】
(1)如图①,若四边形 $ABCD$ 是正方形,且 $DE⊥ CF$ 于点 $G$,则$\dfrac{DE}{CF}=$;
【拓展研究】
(2)如图②,当四边形 $ABCD$ 是矩形时,且 $DE⊥ CF$ 于点 $G$,$AB = m$,$AD = n$,则$\dfrac{DE}{CF}=$;
【解决问题】
(3)老师上课时提出这样的问题:如图③,若四边形 $ABCD$ 是平行四边形,且$∠ B+∠ EGC = 180^{\circ}$时,求证:$\dfrac{DE}{CF}=\dfrac{AD}{CD}$;
(4)如图④,若 $BA = BC = 6$,$DA = DC = 10$,$∠ BAD = 90^{\circ}$,$DE⊥ CF$ 于点 $G$,请直接写出$\dfrac{DE}{CF}$的值.

答案：
学霸微专题20　　相似三角形(+字架型)
1.
(1)1　　
(2)$\frac{n}{m}$
(3)证明:
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD。如答图①，在AD的延长线上取点M，使CM = CF，则∠CMF = ∠CFM。
∵AB//CD，
∴∠A = ∠CDM。
∵AD//BC，
∴∠B + ∠A = 180°。
∵∠B + ∠EGC = 180°，∠EGF + ∠EGC = 180°，
∴∠B = ∠EGF，
∴∠EGF + ∠A = 180°，
∴∠AEG + ∠AFG = 180°。
∵∠AFG + ∠CFM = 180°，
∴∠AED = ∠CFM = ∠CMF，
∴△ADE∽△DCM，
∴$\frac{DE}{CM}$=$\frac{AD}{CD}$，即$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$。

(4)解:如答图②，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M，作CN⊥AD于点N，连接BD，设CN = a。

∵∠BAD = 90°，
∴四边形AMCN为矩形，BM = a - 6。
∵BA = BC = 6，DA = DC = 10，BD为公共边，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠BCD = ∠BAD = ∠MCN = 90°，
∴∠BCM = ∠DCN，
∴△BCM∽△DCN，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{BC}{DC}$，即$\frac{CM}{a}$=$\frac{6}{10}$，
∴$CM = \frac{3}{5}a$。
在Rt△BCM中，$BM^2 + CM^2 = BC^2$，即$(a - 6)^2 + (\frac{3}{5}a)^2 = 6^2$，解得$a = 0$ (舍去) 或$a = \frac{150}{17}$，
∴$CN = \frac{150}{17}$。
∵∠BAD = 90°，DE⊥CF，
∴∠BAD + ∠EGF = 180°，
∴∠AED + ∠AFC = 180°，
∵∠AFC + ∠NFC = 180°，
∴∠AEG = ∠NFC，
∴Rt△ADE∽Rt△NCF，
∴$\frac{DE}{CF} = \frac{AD}{NC} = \frac{10}{\frac{150}{17}} = \frac{17}{15}$。