搜索
1. 如图，$ AB = 8 $，$ BD ⊥ AB $，$ AC ⊥ AB $，且 $ AC = 3 $。$ E $ 是线段 $ AB $ 上一动点，过点 $ E $ 作 $ CE $ 的垂线，交射线 $ BD $ 于点 $ F $，则 $ BF $ 的长的最大值是
$\frac{16}{3}$
。
答案：
1. $\frac{16}{3}$
2. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AC = 3 $，$ BC = 4 $，$ ∠ C = 90^{\circ} $，过 $ CB $ 的中点 $ D $ 作 $ DE ⊥ AD $，交 $ AB $ 于点 $ E $，则 $ EB $ 的长为
$\frac{20}{17}$
。
答案：
2. $\frac{20}{17}$
3. 在矩形 $ ABCD $ 中，$ BC ＞ AB $。沿过点 $ B $ 的直线折叠矩形，使点 $ C $ 落在 $ AD $ 边上点 $ F $ 处，折痕为 $ BE $。
【尝试】
（1）如图①，$ △ ABF $ 与 $ △ DFE $ 始终保持相似关系，请说明理由；
【探究】
（2）随着折痕 $ BE $ 位置的变化，点 $ F $ 的位置随之发生变化。当 $ AB = 5 $ 时，是否存在点 $ F $，使 $ AF · FD = 10 $？若存在，求出此时 $ BC $ 的长；若不存在，请说明理由；
【延伸】
（3）如图②，折叠 $ △ ABF $，使边 $ BA $ 落在 $ BF $ 上的 $ BG $ 处，折痕为 $ BM $。若 $ MF = AM + FD $，求 $ \frac{AB}{BC} $ 的值。
【尝试】
（1）如图①，$ △ ABF $ 与 $ △ DFE $ 始终保持相似关系，请说明理由；
【探究】
（2）随着折痕 $ BE $ 位置的变化，点 $ F $ 的位置随之发生变化。当 $ AB = 5 $ 时，是否存在点 $ F $，使 $ AF · FD = 10 $？若存在，求出此时 $ BC $ 的长；若不存在，请说明理由；
【延伸】
（3）如图②，折叠 $ △ ABF $，使边 $ BA $ 落在 $ BF $ 上的 $ BG $ 处，折痕为 $ BM $。若 $ MF = AM + FD $，求 $ \frac{AB}{BC} $ 的值。
答案：
3. 解：
(1)
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore ∠ A=∠ C=∠ D=90^{\circ}$，由折叠知，$∠ BFE=∠ C=90^{\circ}$，
$\therefore ∠ AFB+∠ EFD=∠ EFD+∠ FED=90^{\circ}$，$\therefore ∠ AFB=∠ FED$，$\therefore △ ABF∽ △ DFE$。
(2) 存在点 $F$，使 $AF· FD=10$。
由
(1)知 $△ ABF∽ △ DFE$，$\therefore \frac{AF}{DE}=\frac{AB}{DF}$，
$\therefore AF· DF=AB· DE$。$\because AF· DF=10$，$AB=5$，$\therefore DE=2$，$\therefore CE=DC-DE=5-2=3$，$\therefore EF=3$，
$\therefore DF=\sqrt{EF^{2}-DE^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$，$\therefore AF=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$，$\therefore BC=AD=AF+DF=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}$。
(3)$\because MF=AM+FD$，$\therefore MF=\frac{1}{2}AD$，由折叠知，$BC=BF=AD$，$∠ FGM=∠ A=90^{\circ}$，$\therefore MF=\frac{1}{2}BF$。
$\because ∠ MFG=∠ BFA$，$\therefore △ FGM∽ △ FAB$，$\therefore \frac{FG}{AF}=\frac{MG}{AB}=\frac{MF}{BF}=\frac{1}{2}$，设 $MG=x$，$FG=y$，则 $AB=2x$，$AF=2y$，
$\therefore (2x)^{2}+(2y)^{2}=(2x+y)^{2}$，解得 $y=\frac{4}{3}x$ 或 $y=0$（舍去），$\therefore BF=2x+y=2x+\frac{4x}{3}=\frac{10x}{3}$，
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{2x}{\frac{10x}{3}}=\frac{3}{5}$。
(1)
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore ∠ A=∠ C=∠ D=90^{\circ}$，由折叠知，$∠ BFE=∠ C=90^{\circ}$，
$\therefore ∠ AFB+∠ EFD=∠ EFD+∠ FED=90^{\circ}$，$\therefore ∠ AFB=∠ FED$，$\therefore △ ABF∽ △ DFE$。
(2) 存在点 $F$，使 $AF· FD=10$。
由
(1)知 $△ ABF∽ △ DFE$，$\therefore \frac{AF}{DE}=\frac{AB}{DF}$，
$\therefore AF· DF=AB· DE$。$\because AF· DF=10$，$AB=5$，$\therefore DE=2$，$\therefore CE=DC-DE=5-2=3$，$\therefore EF=3$，
$\therefore DF=\sqrt{EF^{2}-DE^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$，$\therefore AF=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$，$\therefore BC=AD=AF+DF=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}$。
(3)$\because MF=AM+FD$，$\therefore MF=\frac{1}{2}AD$，由折叠知，$BC=BF=AD$，$∠ FGM=∠ A=90^{\circ}$，$\therefore MF=\frac{1}{2}BF$。
$\because ∠ MFG=∠ BFA$，$\therefore △ FGM∽ △ FAB$，$\therefore \frac{FG}{AF}=\frac{MG}{AB}=\frac{MF}{BF}=\frac{1}{2}$，设 $MG=x$，$FG=y$，则 $AB=2x$，$AF=2y$，
$\therefore (2x)^{2}+(2y)^{2}=(2x+y)^{2}$，解得 $y=\frac{4}{3}x$ 或 $y=0$（舍去），$\therefore BF=2x+y=2x+\frac{4x}{3}=\frac{10x}{3}$，
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{2x}{\frac{10x}{3}}=\frac{3}{5}$。
查看更多完整答案，请扫码查看
