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1. 如图,一艘船由 A 港沿北偏东$70^{\circ}$方向航行,以$30\sqrt{2}$海里/时的速度航行 2 小时到达小岛 B 处,稍作休整,然后再沿北偏西$35^{\circ}$方向航行至 C 港,C 港在 A 港北偏东$25^{\circ}$方向,求 A,C 两港之间的距离.(精确到 1 海里,参考数据:$\sqrt{2}\approx 1.41$,$\sqrt{3}\approx 1.73$)
答案：
解：作 $ BD ⊥ AC $ 于点 $ D $，如答图。
由题意，得 $ ∠ CAB = 70^{\circ} - 25^{\circ} = 45^{\circ} $，$ ∠ CBA = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 35^{\circ} = 75^{\circ} $，$ AB = 30\sqrt{2} × 2 = 60\sqrt{2} $（海里）。
在 $ \mathrm{Rt} △ ADB $ 中，$ ∠ CAB = 45^{\circ} $，$ \therefore ∠ ABD = 45^{\circ} $，$ \therefore AD = BD = \frac{\sqrt{2}}{2}AB = 60 $（海里），$ ∠ CBD = 75^{\circ} - 45^{\circ} = 30^{\circ} $。
在 $ \mathrm{Rt} △ CBD $ 中，$ CD = BD · \tan ∠ CBD = 60 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3} $（海里），$ \therefore AC = AD + DC = 60 + 20\sqrt{3} \approx 95 $（海里）。
答：$ A $，$ C $ 两港之间的距离约为 95 海里。
解：作 $ BD ⊥ AC $ 于点 $ D $，如答图。
由题意，得 $ ∠ CAB = 70^{\circ} - 25^{\circ} = 45^{\circ} $，$ ∠ CBA = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 35^{\circ} = 75^{\circ} $，$ AB = 30\sqrt{2} × 2 = 60\sqrt{2} $（海里）。
在 $ \mathrm{Rt} △ ADB $ 中，$ ∠ CAB = 45^{\circ} $，$ \therefore ∠ ABD = 45^{\circ} $，$ \therefore AD = BD = \frac{\sqrt{2}}{2}AB = 60 $（海里），$ ∠ CBD = 75^{\circ} - 45^{\circ} = 30^{\circ} $。
在 $ \mathrm{Rt} △ CBD $ 中，$ CD = BD · \tan ∠ CBD = 60 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3} $（海里），$ \therefore AC = AD + DC = 60 + 20\sqrt{3} \approx 95 $（海里）。
答：$ A $，$ C $ 两港之间的距离约为 95 海里。
2. 随着科学技术的不断进步,无人机被广泛应用到实际生活中,小星利用无人机来测量广场 B,C 两点之间的距离. 如图所示,小星站在广场的 B 处遥控无人机,无人机在 A 处距离地面的飞行高度是 41.6 m,此时从无人机测得广场 C 处的俯角为$63^{\circ}$,他抬头仰视无人机时,仰角为$α$,若小星的身高$BE=1.6\ \mathrm{m}$,$EA=50\ \mathrm{m}$(点 A,E,B,C 在同一平面内).
求:(1)仰角$α$的正弦值;
(2)B,C 两点之间的距离.
(结果精确到 1 m,参考数据:$\sin 63^{\circ}\approx 0.89$,$\cos 63^{\circ}\approx 0.45$,$\tan 63^{\circ}\approx 1.96$,$\sin 27^{\circ}\approx 0.45$,$\cos 27^{\circ}\approx 0.89$,$\tan 27^{\circ}\approx 0.51$)
求:(1)仰角$α$的正弦值;
(2)B,C 两点之间的距离.
(结果精确到 1 m,参考数据:$\sin 63^{\circ}\approx 0.89$,$\cos 63^{\circ}\approx 0.45$,$\tan 63^{\circ}\approx 1.96$,$\sin 27^{\circ}\approx 0.45$,$\cos 27^{\circ}\approx 0.89$,$\tan 27^{\circ}\approx 0.51$)
答案：
解：（1）如答图，过点 $ A $ 作 $ AD ⊥ BC $ 于点 $ D $，过点 $ E $ 作 $ EF ⊥ AD $ 于点 $ F $。
$ \because ∠ EBD = ∠ FDB = ∠ DFE = 90^{\circ} $，
$ \therefore $ 四边形 $ BDFE $ 为矩形，
$ \therefore EF = BD $，$ DF = BE = 1.6 \mathrm{ m} $，
$ \therefore AF = AD - DF = 41.6 - 1.6 = 40 $（$ \mathrm{m} $）。
在 $ \mathrm{Rt} △ AEF $ 中，
$ \sin ∠ AEF = \frac{AF}{AE} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} $，即 $ \sin α = \frac{4}{5} $。
（2）在 $ \mathrm{Rt} △ AEF $ 中，$ EF = \sqrt{AE^{2} - AF^{2}} = \sqrt{50^{2} - 40^{2}} = 30 $（$ \mathrm{m} $）。
在 $ \mathrm{Rt} △ ACD $ 中，$ ∠ ACD = 63^{\circ} $，$ AD = 41.6 \mathrm{ m} $，
$ \because \tan ∠ ACD = \frac{AD}{CD} $，
$ \therefore CD = \frac{41.6}{\tan 63^{\circ}} \approx \frac{41.6}{1.96} \approx 21.2 $（$ \mathrm{m} $），
$ \therefore BC = BD + CD = 30 + 21.2 \approx 51 $（$ \mathrm{m} $）。
答：$ B $，$ C $ 两点之间的距离约为 51 $ \mathrm{m} $。
解：（1）如答图，过点 $ A $ 作 $ AD ⊥ BC $ 于点 $ D $，过点 $ E $ 作 $ EF ⊥ AD $ 于点 $ F $。
$ \because ∠ EBD = ∠ FDB = ∠ DFE = 90^{\circ} $，
$ \therefore $ 四边形 $ BDFE $ 为矩形，
$ \therefore EF = BD $，$ DF = BE = 1.6 \mathrm{ m} $，
$ \therefore AF = AD - DF = 41.6 - 1.6 = 40 $（$ \mathrm{m} $）。
在 $ \mathrm{Rt} △ AEF $ 中，
$ \sin ∠ AEF = \frac{AF}{AE} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} $，即 $ \sin α = \frac{4}{5} $。
（2）在 $ \mathrm{Rt} △ AEF $ 中，$ EF = \sqrt{AE^{2} - AF^{2}} = \sqrt{50^{2} - 40^{2}} = 30 $（$ \mathrm{m} $）。
在 $ \mathrm{Rt} △ ACD $ 中，$ ∠ ACD = 63^{\circ} $，$ AD = 41.6 \mathrm{ m} $，
$ \because \tan ∠ ACD = \frac{AD}{CD} $，
$ \therefore CD = \frac{41.6}{\tan 63^{\circ}} \approx \frac{41.6}{1.96} \approx 21.2 $（$ \mathrm{m} $），
$ \therefore BC = BD + CD = 30 + 21.2 \approx 51 $（$ \mathrm{m} $）。
答：$ B $，$ C $ 两点之间的距离约为 51 $ \mathrm{m} $。
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