《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. 如图，$AD$，$BC$相交于点$E$，$AB// CD// EF$，点$B$，$F$，$D$在一条直线上.$AB = 10$，$CD = 15$.
求：(1)$\frac{BF}{DF}$的值；
(2)$EF$的长.

答案： 1.解:
(1)
∵AB//CD,
∴△ABE∽△DCE,
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{AB}{DC}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$.
又
∵AB//EF,
∴$\frac{BF}{DF}=\frac{AE}{DE}=\frac{2}{3}$.
(2)
∵CD//EF,
∴△BEF∽△BCD,
∴$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$.
又
∵CD = 15, $\frac{BF}{DF}=\frac{2}{3}$,
∴$EF = CD·\frac{BF}{BD}=15×\frac{2}{2 + 3}=6$.

2. 如图，$D$为$△ ABC$的边$AC$上一点，连接$BD$并延长至点$F$，使得$CF// AB$，点$E$在线段$BC$上，且$DE// AB$，$AB = 4$，$CF = 6$.
(1)若$AD = 3$，求$CD$的长；
(2)若$∠ ABC = 60^{\circ}$，$BD$平分$∠ ABC$，求$BD$的长.

答案：
2.解:
(1)
∵AB//CF,
∴△ABD∽△CFD,
∴AD:CD = AB:CF,
∴3:CD = 4:6, 解得CD = 4.5.
(2)过点E作EH⊥BD于点H, 如答图.

∵DE//AB,
∴∠BDE = ∠ABD.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD = ∠CBD = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$,
∴∠BDE = ∠DBE = 30°,
∴DE = BE,
∴BD = 2DH.
∵$HE=\frac{1}{2}DE$,
∴$DH=\frac{\sqrt{3}}{2}DE$,
∴BD = 2DH = $\sqrt{3}DE$.
∵CF//AB, DE//AB,
∴DE//CF,
∴△CDE∽△CAB, △BDE∽△BFC,
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CB}$, $\frac{DE}{CF}=\frac{BE}{BC}$,
∴$\frac{DE}{AB}+\frac{DE}{CF}=\frac{CE}{BC}+\frac{BE}{BC}=1$.
∵AB = 4, CF = 6,
∴$DE=\frac{12}{5}$,
∴$BD=\sqrt{3}DE=\frac{12\sqrt{3}}{5}$.