《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. 如图，在$△ ABC$中，$BC = 4$，$∠ A = 45^{\circ}$，$∠ B = 60^{\circ}$，求$AC$的长.

答案：
1. 解：过点C作CD⊥AB交AB于点D，如答图。
　　　　　　　
∵∠B = 60°，
∴∠BCD = 30°。
∵BC = 4，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = 2，
∴CD = $\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}$ = 2$\sqrt{3}$。
∵∠A = 45°，
∴∠ACD = ∠A = 45°，
∴AD = CD = 2$\sqrt{3}$，
∴AC = $\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}$ = 2$\sqrt{6}$。

2. 如图，在平面直角坐标系中，点$A$的坐标为$(20,0)$，$OA = 2OB$，$\sin∠ AOB = \frac{3}{5}$.
求：(1)点$B$的坐标；
(2)$\tan∠ OAB$的值.

答案：
2. 解：
(1) 过点B作BC⊥OA于点C，如答图。
　　　　　　　
∵点A的坐标为(20, 0)，
∴OA = 20。
∵OA = 2OB，
∴OB = 10。
∵sin∠AOB = $\frac{BC}{OB}$ = $\frac{3}{5}$，
∴BC = 6，
∴OC = $\sqrt{OB^{2}-BC^{2}}$ = 8，
∴点B的坐标为(8, 6)。
(2)
∵OA = 20，OC = 8，
∴AC = 12，
∴tan∠OAB = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{6}{12}$ = $\frac{1}{2}$。

3. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 5$，$BC = 8$，$D$是边$AC$的中点，连接$BD$，求$∠ DBC$的正弦值.

答案：
3. 解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，如答图。
　　　　　　
∵AB = AC = 5，BC = 8，AM⊥BC，
∴BM = CM = $\frac{1}{2}$BC = 4，
∴AM = $\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-4^{2}}$ = 3。
∵D是边AC的中点，AM//DN，
∴CD = $\frac{1}{2}$AC = 2.5，DN是△ACM的中位线，
∴DN = $\frac{1}{2}$AM = 1.5，CN = $\frac{1}{2}$CM = 2，
∴BN = BC - CN = 8 - 2 = 6。
在Rt△DBN中，
BD = $\sqrt{BN^{2}+DN^{2}}$ = $\sqrt{6^{2}+1.5^{2}}$ = $\frac{3\sqrt{17}}{2}$，
∴sin∠DBN = $\frac{DN}{BD}$ = $\frac{1.5}{\frac{3\sqrt{17}}{2}}$ = $\frac{\sqrt{17}}{17}$，
即sin∠DBC = $\frac{\sqrt{17}}{17}$。