搜索
1. 如图，在平面直角坐标系中，将抛物线 $ C_{1}:y=\frac {1}{2}x^{2} $ 先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度，得到抛物线 $ C_{2} $，抛物线 $ C_{2} $ 的对称轴与 $ C_{1},C_{2} $ 分别相交于点 $ M,N $，则 $ △ MON $ 的面积为
6
.
答案：
1. 6
2. 如图，抛物线 $ y=x^{2} $ 在第一象限内经过的整数点(横、纵坐标都为整数的点)依次为 $ A_{1},A_{2},A_{3},···,A_{n} $，将抛物线 $ y=x^{2} $ 沿直线 $ l:y=x $ 向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点 $ M_{1},M_{2},M_{3},···,M_{n} $ 都在直线 $ l:y=x $ 上；②抛物线依次经过点 $ A_{1},A_{2},A_{3},···,A_{n} $. 顶点 $ M_{2023} $ 的坐标为(
4045
，4045
).
答案：
2. (4045,4045) 点拨:
∵抛物线 $y = x^{2}$ 在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为 $A_{1},A_{2},A_{3},···,A_{n}$，
∴点 $A_{n}$ 的坐标为 $(n,n^{2})$。
设点 $M_{n}$ 的坐标为 $(a,a)$，则以点 $M_{n}$ 为顶点的抛物线的函数表达式为 $y = (x - a)^{2} + a$。
∵点 $A_{n}(n,n^{2})$ 在抛物线 $y = (x - a)^{2} + a$ 上，
∴$n^{2} = (n - a)^{2} + a$，解得 $a = 2n - 1$ 或 $a = 0$（舍去），
∴点 $M_{n}$ 的坐标为 $(2n - 1,2n - 1)$，
∴点 $M_{2023}$ 的坐标为 $(4045,4045)$。
∵抛物线 $y = x^{2}$ 在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为 $A_{1},A_{2},A_{3},···,A_{n}$，
∴点 $A_{n}$ 的坐标为 $(n,n^{2})$。
设点 $M_{n}$ 的坐标为 $(a,a)$，则以点 $M_{n}$ 为顶点的抛物线的函数表达式为 $y = (x - a)^{2} + a$。
∵点 $A_{n}(n,n^{2})$ 在抛物线 $y = (x - a)^{2} + a$ 上，
∴$n^{2} = (n - a)^{2} + a$，解得 $a = 2n - 1$ 或 $a = 0$（舍去），
∴点 $M_{n}$ 的坐标为 $(2n - 1,2n - 1)$，
∴点 $M_{2023}$ 的坐标为 $(4045,4045)$。
3. (2023·上海)如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，直线 $ y=\frac {3}{4}x+6 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上（不与端点重合），以 $ C $ 为顶点的抛物线 $ M:y=ax^{2}+bx+c $ 经过点 $ B $.
(1) 求点 $ A,B $ 的坐标；
(2) 求 $ b,c $ 的值；
(3) 平移抛物线 $ M $ 至 $ N $，点 $ C,B $ 分别平移至点 $ P,D $，连接 $ CD $，且 $ CD// x $ 轴. 如果点 $ P $ 在 $ x $ 轴上，且新抛物线过点 $ B $，求抛物线 $ N $ 的函数表达式.
(1) 求点 $ A,B $ 的坐标；
(2) 求 $ b,c $ 的值；
(3) 平移抛物线 $ M $ 至 $ N $，点 $ C,B $ 分别平移至点 $ P,D $，连接 $ CD $，且 $ CD// x $ 轴. 如果点 $ P $ 在 $ x $ 轴上，且新抛物线过点 $ B $，求抛物线 $ N $ 的函数表达式.
答案：
3. 解:
(1)在 $y = \frac{3}{4}x + 6$ 中，令 $x = 0$，得 $y = 6$，
∴$B(0,6)$。
令 $y = 0$，得 $x = - 8$，
∴$A(-8,0)$。
(2)设 $C(m,\frac{3}{4}m + 6)$，抛物线的函数表达式为 $y = a(x - m)^{2} + \frac{3}{4}m + 6$。
∵抛物线 $M$ 经过点 $B$，
∴将 $B(0,6)$ 代入，得 $am^{2} + \frac{3}{4}m + 6 = 6$，
∵$m ≠ 0$，
∴$am = -\frac{3}{4}$，即 $m = -\frac{3}{4a}$。
将 $m = -\frac{3}{4a}$ 代入 $y = a(x - m)^{2} + \frac{3}{4}m + 6$，
整理，得 $y = ax^{2} + \frac{3}{2}x + 6$，
∴$b = \frac{3}{2}$，$c = 6$。
(3)如答图。
设 $P(p,0)$，$C(m,\frac{3}{4}m + 6)$，
∵$CD // x$ 轴，点 $P$ 在 $x$ 轴上，点 $C$，$B$ 分别平移至点 $P$，$D$，
∴点 $B$，$C$ 向下平移的距离相同，
∴$\frac{3}{4}m + 6 = 6 - (\frac{3}{4}m + 6)$，解得 $m = - 4$。
由
(2)知 $m = -\frac{3}{4a}$，
∴$a = \frac{3}{16}$，
∴抛物线 $N$ 的函数表达式为 $y = \frac{3}{16}(x - p)^{2}$。
将 $B(0,6)$ 代入 $y = \frac{3}{16}(x - p)^{2}$，得 $p = \pm 4\sqrt{2}$，
∴抛物线 $N$ 的函数表达式为 $y = \frac{3}{16}(x - 4\sqrt{2})^{2}$ 或 $y = \frac{3}{16}(x + 4\sqrt{2})^{2}$。
3. 解:
(1)在 $y = \frac{3}{4}x + 6$ 中，令 $x = 0$，得 $y = 6$，
∴$B(0,6)$。
令 $y = 0$，得 $x = - 8$，
∴$A(-8,0)$。
(2)设 $C(m,\frac{3}{4}m + 6)$，抛物线的函数表达式为 $y = a(x - m)^{2} + \frac{3}{4}m + 6$。
∵抛物线 $M$ 经过点 $B$，
∴将 $B(0,6)$ 代入，得 $am^{2} + \frac{3}{4}m + 6 = 6$，
∵$m ≠ 0$，
∴$am = -\frac{3}{4}$，即 $m = -\frac{3}{4a}$。
将 $m = -\frac{3}{4a}$ 代入 $y = a(x - m)^{2} + \frac{3}{4}m + 6$，
整理，得 $y = ax^{2} + \frac{3}{2}x + 6$，
∴$b = \frac{3}{2}$，$c = 6$。
(3)如答图。
设 $P(p,0)$，$C(m,\frac{3}{4}m + 6)$，
∵$CD // x$ 轴，点 $P$ 在 $x$ 轴上，点 $C$，$B$ 分别平移至点 $P$，$D$，
∴点 $B$，$C$ 向下平移的距离相同，
∴$\frac{3}{4}m + 6 = 6 - (\frac{3}{4}m + 6)$，解得 $m = - 4$。
由
(2)知 $m = -\frac{3}{4a}$，
∴$a = \frac{3}{16}$，
∴抛物线 $N$ 的函数表达式为 $y = \frac{3}{16}(x - p)^{2}$。
将 $B(0,6)$ 代入 $y = \frac{3}{16}(x - p)^{2}$，得 $p = \pm 4\sqrt{2}$，
∴抛物线 $N$ 的函数表达式为 $y = \frac{3}{16}(x - 4\sqrt{2})^{2}$ 或 $y = \frac{3}{16}(x + 4\sqrt{2})^{2}$。
查看更多完整答案，请扫码查看
