《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

3. 如图,直线 $ y=-x-1 $ 交 $ x $ 轴于点 $ A $,经过点 $ A $ 的抛物线 $ y_{1}=-x^{2}+bx+c $ 交直线 $ y=-x-1 $ 于另一点 $ B(4,-5) $,交 $ x $ 轴于点 $ C $. $ P $ 是抛物线 $ y_{1}=-x^{2}+bx+c $ 对称轴上的点.
(1) 当 $ PA=PB $ 时,求点 $ P $ 的纵坐标 $ m $ 的值;
(2) 过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的平行线,交抛物线 $ y_{1}=-x^{2}+bx+c $ 于点 $ E,F $,交线段 $ AB $ 于点 $ Q $,当点 $ Q $ 将线段 $ AB $ 分得的两段线段长度比为 $ 2:3 $ 时,求点 $ P $ 的纵坐标的值.

答案：
3. 解：
(1)$\because$直线$y = - x - 1$交$x$轴于点$A$，令$y = 0$，
解得$x = - 1$，$\therefore A(-1,0)$。
$\because$抛物线经过点$A(-1,0)$，$B(4,-5)$，
$\therefore\begin{cases}-1 - b + c = 0\\-16 + 4b + c = - 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2\\c = 3\end{cases}$，
$\therefore y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$，
设抛物线$y=-x^{2}+2x + 3$的对称轴交$x$轴于点$Q$，过点$P$作$PR⊥ PQ$，过点$B$作$BR⊥ PR$于点$R$，
如答图①所示，
$\therefore∠ AQP=∠ PRB=∠ QPR = 90^{\circ}$。
$\because$点$P(1,m)$，$A(-1,0)$，$B(4,-5)$，
$\therefore AQ = 2$，$PQ = - m$，$PR = 3$，$BR = 5 + m$，$\therefore AP^{2}=AQ^{2}+PQ^{2}=4 + m^{2}$，$BP^{2}=PR^{2}+BR^{2}=9+(5 + m)^{2}$。
$\because PA = PB$，$\therefore 4 + m^{2}=9+(5 + m)^{2}$，
解得$m = - 3$，即点$P$的纵坐标$m$的值为$-3$。
(2)二次函数图像的对称轴为直线$x = 1$，设$P(1,m)$，
如答图②，过点$P$作$x$轴的平行线为$y = m$，
$\because y = m$交线段$AB$于点$Q$，且$A(-1,0)$，$B(4,-5)$，
$\therefore - 5 ＜ m ＜ 0$，联立$\begin{cases}y = - x - 1\\y = m\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = - m - 1\\y = m\end{cases}$，
$\therefore Q(-m - 1,m)$。
$\because$点$Q$将线段$AB$分得的两段线段的长度比为$2:3$，
$\therefore$当$\frac{AQ}{QB}=\frac{2}{3}$时，$\frac{(-m - 1)-(-1)}{4-(-m - 1)}=\frac{2}{3}$，
解得$m = - 2$；当$\frac{AQ}{QB}=\frac{3}{2}$时，$\frac{(-m - 1)-(-1)}{4-(-m - 1)}=\frac{3}{2}$，
解得$m = - 3$。
综上所述，点$P$的纵坐标的值为$-2$或$-3$。