《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. 如图,在锐角$ △ ABC $中,$ BC = 6 $,$ S_{△ ABC} = 12 $,矩形 $ MPQN $ 的两个顶点 $ M $,$ N $ 分别在 $ AB $,$ AC $ 上,另两个顶点 $ P $,$ Q $ 均在 $ BC $ 上,高 $ AD $ 交 $ MN $ 于点 $ E $,设 $ MN $ 的长为 $ x $,矩形 $ MPQN $ 的面积为 $ y $.
(1)求 $ AD $ 的长,并用含 $ x $ 的式子表示线段 $ AE $ 的长;
(2)请写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式;
(3)试求 $ y $ 的最大值.

答案： 解：
(1)
∵$S_{△ABC}=12$，
∴$\frac {1}{2}BC· AD=12$，又$BC=6$，
∴$AD=4$。
∵$MN// BC$，
∴$△AMN∽ △ABC$，
∴$\frac {AE}{AD}=\frac {MN}{BC}$，即$\frac {AE}{4}=\frac {x}{6}$，解得$AE=\frac {2}{3}x$。
(2)
∵$AE=\frac {2}{3}x$，
∴$MP=AD-AE=4-\frac {2}{3}x$，
∴矩形$MPQN$的面积为$y=x(4-\frac {2}{3}x)=-\frac {2}{3}x^{2}+4x$。
(3)
∵$y=-\frac {2}{3}x^{2}+4x=-\frac {2}{3}(x-3)^{2}+6$，
∴当$x=3$时，$y$的最大值是$6$。

2. 如图,张师傅有一块锐角三角形木料 $ ABC $,其中 $ BC = 120 \mathrm{ mm} $,高 $ AD = 80 \mathrm{ mm} $,张师傅想把它加工成矩形零件 $ PQMN $,使一边在 $ BC $ 上,其余两个顶点分别在边 $ AB $,$ AC $ 上,$ PQ $ 与 $ AD $ 交于点 $ H $.
(1)当 $ P $ 恰好为 $ AB $ 的中点时,$ PQ = \_\_\_\_\_\_ \mathrm{mm} $;
(2)当四边形 $ PQMN $ 为正方形时,求出这个零件的边长;
(3)若这个零件的边 $ PN : PQ = 1 : 2 $,则这个零件的长、宽各是多少毫米?

答案：
(1)$60$
(2)解：
∵四边形$PQMN$为正方形，
∴$PQ// BC$，$PQ=PN=HD$。
设正方形的边长为$a\ mm$，则$PQ=PN=HD=a\ mm$，
∵$PQ// BC$，
∴$△APQ∽ △ABC$，
∴$\frac {PQ}{BC}=\frac {AH}{AD}$，
∴$\frac {a}{120}=\frac {80-a}{80}$，解得$a=48$，
答：这个零件的边长为$48\ mm$。
(3)解：设零件的宽为$x\ mm$，则长为$2x\ mm$，
同理$△APQ∽ △ABC$，
∴$\frac {PQ}{BC}=\frac {AH}{AD}$，
∴$\frac {2x}{120}=\frac {80-x}{80}$，解得$x=\frac {240}{7}$，则$2x=\frac {480}{7}$，
故零件的长为$\frac {480}{7}\ mm$，宽为$\frac {240}{7}\ mm$。