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1. 如图，在等腰梯形 $ ABCD$ 中，$AD// BC$，$BC = 4\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{2}$，$∠ B = 45^{\circ}$，直角三角尺含 $ 45^{\circ}$ 角的顶点 $ E$ 在 $ BC$ 边上移动，直角边 $ EM$ 始终经过点 $ A$，斜边 $ EN$ 与 $ CD$ 交于点 $ F$，若 $△ ABE$ 为等腰三角形，则 $ CF$ 的长为
$\frac{5}{2}$ 或 $4\sqrt{2}-3$ 或 2
。
答案：
1. $\frac{5}{2}$ 或 $4\sqrt{2}-3$ 或 2
2. (2023·西安期中)如图①，$△ ABC$ 是等边三角形，将直角三角尺的 $ 60^{\circ}$ 角的顶点 $ D$ 放在边 $ BC$ 上(点 $ D$ 不与点 $ B$，$C$ 重合)，两边分别交线段 $ AB$，$AC$ 于点 $ E$，$F$。
(1)若 $ AB = 6$，$AE = 4$，$BD = 2$，求 $ CF$ 的长；
(2)求证：$△ EBD∼△ DCF$；
(3)某工厂的工人师傅要制作一个模具，现将图①中的三角尺的顶点 $ D$ 在边 $ BC$ 上移动，保持三角尺与边 $ AB$，$AC$ 的两个交点 $ E$，$F$ 都存在，连接 $ EF$，如图②所示。已知 $ AB = 20\mathrm{cm}$，问点 $ D$ 是否存在某一位置，使 $ ED$ 平分 $∠ BEF$，且 $ FD$ 平分 $∠ CFE$？若存在，求出 $ BE· CF$ 的值及 $△ AEF$ 的周长；若不存在，请说明理由。
(1)若 $ AB = 6$，$AE = 4$，$BD = 2$，求 $ CF$ 的长；
(2)求证：$△ EBD∼△ DCF$；
(3)某工厂的工人师傅要制作一个模具，现将图①中的三角尺的顶点 $ D$ 在边 $ BC$ 上移动，保持三角尺与边 $ AB$，$AC$ 的两个交点 $ E$，$F$ 都存在，连接 $ EF$，如图②所示。已知 $ AB = 20\mathrm{cm}$，问点 $ D$ 是否存在某一位置，使 $ ED$ 平分 $∠ BEF$，且 $ FD$ 平分 $∠ CFE$？若存在，求出 $ BE· CF$ 的值及 $△ AEF$ 的周长；若不存在，请说明理由。
答案：
2.
(1)解:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠C=60°.
∵AB=6,AE=4,BD=2,
∴BC=6,BE=AB−AE=6−4=2,
∴CD=BC−BD=6−2=4,BE=BD,
∴△BDE是等边三角形,
∴∠BDE=60°.
∵∠EDF=60°,
∴∠CDF=180°−∠BDE−∠EDF=60°,
∴∠CFD=∠CDF=∠C=60°,
∴△CDF是等边三角形,
∴CF=CD=4.
(2)证明:
∵∠B=60°,
∴∠BED=180°−∠B−∠BDE=120°−∠BDE.
∵∠EDF=60°,
∴∠CDF=180°−∠EDF−∠BDE=120°−∠BDE,
∴∠BED=∠CDF.
∵∠B=∠C,
∴△EBD∽△DCF.
(3)解: 存在，当D为BC的中点时,ED平分∠BEF,且FD平分∠CFE.
理由: 如答图，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD.
∵△EBD∽△DCF,
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{DE}{DF}$,∠BDE=∠CFD,
∴$\frac{BE}{DE}=\frac{BD}{DF}$.
∵∠B=∠EDF,
∴△BDE∽△DFE,
∴∠BED=∠DEF,∠BDE=∠DFE,
∴∠CFD=∠DFE,
∴ED平分∠BEF,且FD平分∠CFE.
∵BC=AB=AC=20cm,
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=10cm.
∵$\frac{BE}{CD}=\frac{BD}{CF}$,
∴BE·CF=BD·CD=10×10=100.
作DH⊥AB于点H,DT⊥EF于点T,DG⊥AC于点G,则DH=DT=DG.
∵∠DEH=∠DET,∠DHE=∠DTE=90°,DE=DE,
∴△DEH≌△DET(AAS),
∴EH=ET,
同理△DFG≌△DFT(AAS),
∴FG=FT,
∴AE+EF+AF=AE+ET+FT+AF=AE+EH+FG+AF=AH+AG.
∵∠BHD=∠CGD=90°,∠B=∠C=60°,
∴∠BDH=∠CDG=30°,
∴BH=$\frac{1}{2}$BD=5cm,CG=$\frac{1}{2}$CD=5cm,
∴AH+AG=AB−BH+AC−CG=20−5+20−5=30(cm),
∴AE+EF+AF=30cm,
∴BE·CF的值是100,△AEF的周长是30cm.
2.
(1)解:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠C=60°.
∵AB=6,AE=4,BD=2,
∴BC=6,BE=AB−AE=6−4=2,
∴CD=BC−BD=6−2=4,BE=BD,
∴△BDE是等边三角形,
∴∠BDE=60°.
∵∠EDF=60°,
∴∠CDF=180°−∠BDE−∠EDF=60°,
∴∠CFD=∠CDF=∠C=60°,
∴△CDF是等边三角形,
∴CF=CD=4.
(2)证明:
∵∠B=60°,
∴∠BED=180°−∠B−∠BDE=120°−∠BDE.
∵∠EDF=60°,
∴∠CDF=180°−∠EDF−∠BDE=120°−∠BDE,
∴∠BED=∠CDF.
∵∠B=∠C,
∴△EBD∽△DCF.
(3)解: 存在，当D为BC的中点时,ED平分∠BEF,且FD平分∠CFE.
理由: 如答图，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD.
∵△EBD∽△DCF,
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{DE}{DF}$,∠BDE=∠CFD,
∴$\frac{BE}{DE}=\frac{BD}{DF}$.
∵∠B=∠EDF,
∴△BDE∽△DFE,
∴∠BED=∠DEF,∠BDE=∠DFE,
∴∠CFD=∠DFE,
∴ED平分∠BEF,且FD平分∠CFE.
∵BC=AB=AC=20cm,
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=10cm.
∵$\frac{BE}{CD}=\frac{BD}{CF}$,
∴BE·CF=BD·CD=10×10=100.
作DH⊥AB于点H,DT⊥EF于点T,DG⊥AC于点G,则DH=DT=DG.
∵∠DEH=∠DET,∠DHE=∠DTE=90°,DE=DE,
∴△DEH≌△DET(AAS),
∴EH=ET,
同理△DFG≌△DFT(AAS),
∴FG=FT,
∴AE+EF+AF=AE+ET+FT+AF=AE+EH+FG+AF=AH+AG.
∵∠BHD=∠CGD=90°,∠B=∠C=60°,
∴∠BDH=∠CDG=30°,
∴BH=$\frac{1}{2}$BD=5cm,CG=$\frac{1}{2}$CD=5cm,
∴AH+AG=AB−BH+AC−CG=20−5+20−5=30(cm),
∴AE+EF+AF=30cm,
∴BE·CF的值是100,△AEF的周长是30cm.
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