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1. 某商店在销售甲、乙两种干果时发现，前 $ x $ 天与其总销售量 $ y $(千克)的函数关系式为 $ y_{\mathrm{甲}} = -x^{2} + 40x $ 与 $ y_{\mathrm{乙}} = x^{2} + 20x $，若想乙种干果每天的销售量比甲种干果每天的销售量至少多 6 千克，则至少需要(
A.6 天
B.7 天
C.8 天
D.12 天
B
)A.6 天
B.7 天
C.8 天
D.12 天
答案：
1. B
2. (2024·大庆)“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国. 某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的 30 天中，第 $ x $ 天($ 1 ≤ x ≤ 30 $ 且 $ x $ 为整数)的售价为 $ y $(元/千克)，当 $ 1 ≤ x ≤ 20 $ 时，$ y = kx + b $；当 $ 20 ＜ x ≤ 30 $ 时，$ y = 15 $. 销量 $ z $(千克)与 $ x $ 的函数关系式为 $ z = x + 10 $，已知该产品第 10 天的售价为 20 元/千克，第 15 天的售价为 15 元/千克，设第 $ x $ 天的销售额为 $ M $(元).
(1)$ k = $
(2)写出第 $ x $ 天的销售额 $ M $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
(3)求在试销售的 30 天中，共有多少天销售额超过 500 元？
(1)$ k = $
-1
，$ b = $30
；(2)写出第 $ x $ 天的销售额 $ M $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
(3)求在试销售的 30 天中，共有多少天销售额超过 500 元？
答案：
2.
(1) -1 30
(2) 解:由题意,当 $ 1 ≤ x ≤ 20 $ 时,由
(1)得 $ y=-x+30 $,
$ \therefore M=(x+10)(-x+30)=-x^{2}+20 x+300 $.
当 $ 20＜x ≤ 30 $ 时,$ M=15(x+10)=15 x+150 $.
$ \therefore M=\{\begin{array}{l}-x^{2}+20 x+300(1 ≤ x ≤ 20), \\ 15 x+150(20＜x ≤ 30).\end{array} $
(3) 解:由题意,当 $ 1 ≤ x ≤ 20 $ 时,$ M=-x^{2}+20 x+300=-(x-10)^{2}+400 $.
$ \because-1＜0, \therefore $ 当 $ x=10 $ 时,$ M $ 取最大值为 400.
$ \therefore $ 此时销售额不超过 500 元.
当 $ 20＜x ≤ 30 $ 时,令 $ M=15 x+150＞500 $,
$ \therefore x＞23 \frac{1}{3} $. $ \therefore $ 共有 7 天销售额超过 500 元.
(1) -1 30
(2) 解:由题意,当 $ 1 ≤ x ≤ 20 $ 时,由
(1)得 $ y=-x+30 $,
$ \therefore M=(x+10)(-x+30)=-x^{2}+20 x+300 $.
当 $ 20＜x ≤ 30 $ 时,$ M=15(x+10)=15 x+150 $.
$ \therefore M=\{\begin{array}{l}-x^{2}+20 x+300(1 ≤ x ≤ 20), \\ 15 x+150(20＜x ≤ 30).\end{array} $
(3) 解:由题意,当 $ 1 ≤ x ≤ 20 $ 时,$ M=-x^{2}+20 x+300=-(x-10)^{2}+400 $.
$ \because-1＜0, \therefore $ 当 $ x=10 $ 时,$ M $ 取最大值为 400.
$ \therefore $ 此时销售额不超过 500 元.
当 $ 20＜x ≤ 30 $ 时,令 $ M=15 x+150＞500 $,
$ \therefore x＞23 \frac{1}{3} $. $ \therefore $ 共有 7 天销售额超过 500 元.
3. 某超市拟于中秋节前 50 天里销售某品牌月饼，其进价为 18 元/千克. 设第 $ x $ 天的销售价格为 $ y $(元/千克)，销售量为 $ m $(千克). 该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当 $ 1 ≤ x ≤ 30 $ 时，$ y = 40 $；当 $ 31 ≤ x ≤ 50 $ 时，$ y $ 与 $ x $ 满足一次函数关系，且当 $ x = 36 $ 时，$ y = 37 $；当 $ x = 44 $ 时，$ y = 33 $；② $ m $ 与 $ x $ 的关系为 $ m = 5x + 50 $.
(1)当 $ 31 ≤ x ≤ 50 $ 时，$ y $ 与 $ x $ 的关系式为
(2)$ x $ 的值为多少时，当天的销售利润 $ W $(元)最大？最大利润为多少元？
(3)若超市在第 31 天到第 35 天的当天销售价格的基础上涨 $ a $ 元/千克($ 0 ≤ a ≤ 6 $)，且日销售利润 $ W $(元)随 $ x $ 的增大而增大，那么 $ a $ 的取值范围是多少？
(1)当 $ 31 ≤ x ≤ 50 $ 时，$ y $ 与 $ x $ 的关系式为
$ y=-\frac{1}{2} x+55 $
；(2)$ x $ 的值为多少时，当天的销售利润 $ W $(元)最大？最大利润为多少元？
(3)若超市在第 31 天到第 35 天的当天销售价格的基础上涨 $ a $ 元/千克($ 0 ≤ a ≤ 6 $)，且日销售利润 $ W $(元)随 $ x $ 的增大而增大，那么 $ a $ 的取值范围是多少？
答案：
3.
(1) $ y=-\frac{1}{2} x+55 $
(2) 解:由题意,当 $ 1 ≤ x ≤ 30 $ 时,$ W=(40-18)(5 x+50)=110 x+1100 $. $ \because 110＞0, \therefore W $ 随 $ x $ 的增大而增大,
$ \therefore x=30 $ 时,$ W $ 取得最大值为 4400.
当 $ 31 ≤ x ≤ 50 $ 时,$ W=(-\frac{1}{2} x+55-18)(5 x+50)=-2.5 x^{2}+160 x+1850=-2.5(x-32)^{2}+4410 $.
$ \because-2.5＜0, \therefore $ 当 $ x=32 $ 时,$ W $ 的最大值为 4410.
$ \because 4410＞4400 $,
$ \therefore x=32 $ 时,当天的销售利润最大,最大利润为 4410 元.
(3) 解:由题意,得 $ W=(-\frac{1}{2} x+55+a-18)(5 x+50)=-\frac{5}{2} x^{2}+(160+5 a) x+1850+50 a $.
又 $ -\frac{5}{2}＜0 $,对称轴为直线 $ x=32+a $,且 $ x $ 取整数,
$ \therefore 32+a＞34.5, a＞2.5 $. 又 $ \because 0 ≤ a ≤ 6, \therefore 2.5＜a ≤ 6 $.
(1) $ y=-\frac{1}{2} x+55 $
(2) 解:由题意,当 $ 1 ≤ x ≤ 30 $ 时,$ W=(40-18)(5 x+50)=110 x+1100 $. $ \because 110＞0, \therefore W $ 随 $ x $ 的增大而增大,
$ \therefore x=30 $ 时,$ W $ 取得最大值为 4400.
当 $ 31 ≤ x ≤ 50 $ 时,$ W=(-\frac{1}{2} x+55-18)(5 x+50)=-2.5 x^{2}+160 x+1850=-2.5(x-32)^{2}+4410 $.
$ \because-2.5＜0, \therefore $ 当 $ x=32 $ 时,$ W $ 的最大值为 4410.
$ \because 4410＞4400 $,
$ \therefore x=32 $ 时,当天的销售利润最大,最大利润为 4410 元.
(3) 解:由题意,得 $ W=(-\frac{1}{2} x+55+a-18)(5 x+50)=-\frac{5}{2} x^{2}+(160+5 a) x+1850+50 a $.
又 $ -\frac{5}{2}＜0 $,对称轴为直线 $ x=32+a $,且 $ x $ 取整数,
$ \therefore 32+a＞34.5, a＞2.5 $. 又 $ \because 0 ≤ a ≤ 6, \therefore 2.5＜a ≤ 6 $.
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