《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. 如图①，$\odot O$的半径为$r$，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形。
(1) 设$∠ ACB = α$，$AB = a$，求证：$\sinα = \dfrac{a}{2r}$；
(2) 作$CD ⊥ AB$于点$D$，如图②，若$r = 3$，$AC = 4\sqrt{2}$，求$\sin∠ BCD$的值。

答案：
1.
(1)证明:作直径AC₁，连接BC₁，如答图①，则∠ABC₁ = 90°，∠AC₁B = ∠ACB = α，
∴在Rt△ABC₁中，sinα = $\frac{AB}{AC₁}$ = $\frac{a}{2r}$。

(2)解:作直径CB₁，连接AB₁，如答图②，则∠B₁ = ∠B，∠CAB₁ = 90° = ∠CDB，

∴∠BCD = ∠ACB₁，AB₁ = $\sqrt{CB₁² - AC²}$ = 2，
∴sin∠BCD = sin∠ACB₁ = $\frac{AB₁}{CB₁}$ = $\frac{1}{3}$。

2. 如图，$AB$为$\odot O$的直径，$CD$为$\odot O$的弦，直线$AD$与$BC$相交于点$P$。
(1) 求证：$△ DPC ∽ △ BPA$；
(2) 若$AB = 10$，$CD = 6$，求$\tan∠ APC$的值。

答案：
2.
(1)证明:
∵∠PDC = ∠PBA，∠P = ∠P，
∴△DPC∽△BPA。
(2)解:连接DB，如答图，
∵△DPC∽△BPA，

∴$\frac{DP}{BP}$ = $\frac{CD}{AB}$ = $\frac{6}{10}$ = $\frac{3}{5}$。
设DP = 3x，则BP = 5x，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB = 90°，
∴DB = $\sqrt{BP² - DP²}$ = 4x，
∴tan∠APC = $\frac{BD}{DP}$ = $\frac{4}{3}$。

3. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB = AC$，连接$AO$。
(1) 求证：$AO ⊥ BC$；
(2) 延长$CO$交$AB$于点$D$，若$\tan∠ BAC = \dfrac{3}{4}$，求$\dfrac{AD}{DB}$的值。

答案：
3.
(1)证明:延长AO交BC于点G，交⊙O于点H，如答图。
∵AB = AC，则$\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$ = $\overset{\LARGE{\frown}}{AC}$，
∴$\overset{\LARGE{\frown}}{BH}$ = $\overset{\LARGE{\frown}}{CH}$，
∴∠BAH = ∠CAH。又AB = AC，
∴AG⊥BC，即AO⊥BC。

(2)解:如答图，延长CD交⊙O于点E，连接BE，则∠EBC = 90°，∠E = ∠BAC，
∴tanE = tan∠BAC = $\frac{BC}{BE}$ = $\frac{3}{4}$，故可设BC = 6a，
∴BE = 8a，
∴EC = $\sqrt{BC² + BE²}$ = 10a，AO = $\frac{1}{2}$EC = 5a。
由
(1)可知AO//EB，
∴△AOD∽△BED，
∴$\frac{AD}{DB}$ = $\frac{AO}{BE}$ = $\frac{5a}{8a}$ = $\frac{5}{8}$。