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1. 如图，二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 + bx - 4 $ 的图像与 $ x $ 轴相交于点 $ A(-4,0) $ 和点 $ B $，与 $ y $ 轴相交于点 $ C $，顶点为 $ D $，连接 $ AD $，$ BD $，点 $ M $，$ N $分别在线段 $ AB $，$ AD $ 上(均含端点)，且 $ ∠ DMN = ∠ DBA $，若 $ △ DMN $ 是等腰三角形，则点 $ M $ 的坐标为
$(2,0)$或$(\frac {7}{8},0)$或$(\frac {3\sqrt {13}-8}{2},0)$
.
答案：
1. $(2,0)$或$(\frac {7}{8},0)$或$(\frac {3\sqrt {13}-8}{2},0)$
2. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $ y = \frac{1}{2}x - 1 $ 与抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + bx + c $ 交于 $ A $，$ B $ 两点，点 $ A $ 在 $ x $ 轴上，点 $ B $ 的横坐标为 $ -8 $，$ P $ 是直线 $ AB $ 上方抛物线上的一个动点（不与点 $ A $，$ B $ 重合）. 连接 $ PA $，$ PB $，在点 $ P $ 运动过程中，是否存在某一位置，使 $ △ PAB $ 恰好是一个以 $ P $ 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：
2. 解：不存在，理由：
∵点A在x轴上，点B的横坐标为-8，且在直线$y=\frac {1}{2}x-1$，$\therefore A(2,0),B(-8,-5).$
∵点A，B在抛物线$y=-\frac {1}{4}x^{2}+bx+c$上，
$\{\begin{array}{l} -1+2b+c=0,\\ -16-8b+c=-5,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} b=-1,\\ c=3,\end{array} $
∴抛物线的函数表达式为$y=-\frac {1}{4}x^{2}-x+3.$
假设存在这样的点P，使$△ PAB$恰好是一个等腰直角三角形，$\because △ PAB$是以P为直角顶点的等腰直角三角形，
$\therefore ∠APB=90^{\circ },PA=PB$，设$P(x,-\frac {1}{4}x^{2}-x+3)$，而点A的坐标为$(2,0)$，点B的坐标为$(-8,-5)$，则$PA^{2}=(x-2)^{2}+(-\frac {1}{4}x^{2}-x+3)^{2}$，$PB^{2}=(x+8)^{2}+(-\frac {1}{4}x^{2}-x+3+5)^{2}$，$\therefore (x-2)^{2}+(-\frac {1}{4}x^{2}-x+3)^{2}=(x+8)^{2}+(-\frac {1}{4}x^{2}-x+3+5)^{2}$，解得$x=2+5\sqrt {2}$或$x=2-5\sqrt {2}$，此时$PA^{2}=PB^{2}=\frac {1625}{4}+250\sqrt {2}$或$PA^{2}=PB^{2}=\frac {1625}{4}-250\sqrt {2}.$
∵$A(2,0),B(-8,-5)$，$\therefore AB^{2}=(2+8)^{2}+5^{2}=125$，
$\therefore PA^{2}+PB^{2}≠AB^{2}$，
∴不存在点P，使$△ PAB$恰好是一个以P为直角顶点的等腰直角三角形.
∵点A在x轴上，点B的横坐标为-8，且在直线$y=\frac {1}{2}x-1$，$\therefore A(2,0),B(-8,-5).$
∵点A，B在抛物线$y=-\frac {1}{4}x^{2}+bx+c$上，
$\{\begin{array}{l} -1+2b+c=0,\\ -16-8b+c=-5,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} b=-1,\\ c=3,\end{array} $
∴抛物线的函数表达式为$y=-\frac {1}{4}x^{2}-x+3.$
假设存在这样的点P，使$△ PAB$恰好是一个等腰直角三角形，$\because △ PAB$是以P为直角顶点的等腰直角三角形，
$\therefore ∠APB=90^{\circ },PA=PB$，设$P(x,-\frac {1}{4}x^{2}-x+3)$，而点A的坐标为$(2,0)$，点B的坐标为$(-8,-5)$，则$PA^{2}=(x-2)^{2}+(-\frac {1}{4}x^{2}-x+3)^{2}$，$PB^{2}=(x+8)^{2}+(-\frac {1}{4}x^{2}-x+3+5)^{2}$，$\therefore (x-2)^{2}+(-\frac {1}{4}x^{2}-x+3)^{2}=(x+8)^{2}+(-\frac {1}{4}x^{2}-x+3+5)^{2}$，解得$x=2+5\sqrt {2}$或$x=2-5\sqrt {2}$，此时$PA^{2}=PB^{2}=\frac {1625}{4}+250\sqrt {2}$或$PA^{2}=PB^{2}=\frac {1625}{4}-250\sqrt {2}.$
∵$A(2,0),B(-8,-5)$，$\therefore AB^{2}=(2+8)^{2}+5^{2}=125$，
$\therefore PA^{2}+PB^{2}≠AB^{2}$，
∴不存在点P，使$△ PAB$恰好是一个以P为直角顶点的等腰直角三角形.
3. 如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 过点 $ A(-1,0) $，$ B(2,0) $ 和 $ C(0,2) $，连接 $ BC $，$ P(m,n)(m ＞ 0) $ 为抛物线上一动点，过点 $ P $ 作 $ PN ⊥ x $ 轴交直线 $ BC $ 于点 $ M $，交 $ x $ 轴于点 $ N $.
(1) 求抛物线和直线 $ BC $ 的函数表达式；
(2) 如图①，连接 $ CP $，$ CN $，当 $ △ CPN $ 是直角三角形时，求 $ m $ 的值；
(3) 如图②，连接 $ OM $，当 $ △ OCM $ 为等腰三角形时，求 $ m $ 的值.
(1) 求抛物线和直线 $ BC $ 的函数表达式；
(2) 如图①，连接 $ CP $，$ CN $，当 $ △ CPN $ 是直角三角形时，求 $ m $ 的值；
(3) 如图②，连接 $ OM $，当 $ △ OCM $ 为等腰三角形时，求 $ m $ 的值.
答案：
3. 解：
(1)将点$A(-1,0),B(2,0),C(0,2)$代入$y=ax^{2}+bx+c$，得$\{\begin{array}{l} a-b+c=0,\\ 4a+2b+c=0,\\ c=2,\end{array} $
解得$\{\begin{array}{l} a=-1,\\ b=1,\\ c=2,\end{array} $$\therefore y=-x^{2}+x+2$.设直线BC的函数表达式为$y=kx+d$，将$B(2,0),C(0,2)$代入，得$\{\begin{array}{l} 2k+d=0,\\ d=2,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} k=-1,\\ d=2,\end{array} $$\therefore y=-x+2$.
(2)由题意知，当$△ CPN$是直角三角形时，分$∠CPN=90^{\circ }$和$∠PCN=90^{\circ }$两种情况.
当$∠CPN=90^{\circ }$时，由题意知，$CP// x$轴，$\therefore n=2$，
$\therefore -m^{2}+m+2=2$，解得$m=0$（舍去）或$m=1$；
当$∠PCN=90^{\circ }$时，$\because P(m,n),N(m,0)$，
$\therefore PC^{2}=m^{2}+(n-2)^{2},NC^{2}=m^{2}+4,PN^{2}=n^{2}$，
由勾股定理，得$PC^{2}+NC^{2}=PN^{2}$，即$m^{2}+(n-2)^{2}+m^{2}+4=n^{2}$①，又$\because -m^{2}+m+2=n$②，
联立①②，解得$m=\frac {2}{3}$或$m=0$（舍去）.
综上所述，m的值为1或$\frac {2}{3}$.
(3)$\because$点M在直线BC上，且$P(m,n)$，$\therefore$点M的坐标为$(m,-m+2)$，
$\therefore CM^{2}=(m-0)^{2}+(-m+2-2)^{2}=2m^{2},OM^{2}=m^{2}+(-m+2)^{2}=2m^{2}-4m+4,OC^{2}=4$，
当$△ OCM$为等腰三角形时，分以下三种情况：
①当$CM=OM$时，则$CM^{2}=OM^{2}$，$\therefore 2m^{2}=2m^{2}-4m+4$，解得$m=1$；
②当$CM=OC$时，则$CM^{2}=OC^{2}$，$\therefore 2m^{2}=4$，解得$m=\sqrt {2}$或$m=-\sqrt {2}$（舍去）；
③当$OM=OC$时，则$OM^{2}=OC^{2}$，$\therefore 2m^{2}-4m+4=4$，解得$m=2$或$m=0$（舍去）.
综上所述，m的值为1或$\sqrt {2}$或2.
(1)将点$A(-1,0),B(2,0),C(0,2)$代入$y=ax^{2}+bx+c$，得$\{\begin{array}{l} a-b+c=0,\\ 4a+2b+c=0,\\ c=2,\end{array} $
解得$\{\begin{array}{l} a=-1,\\ b=1,\\ c=2,\end{array} $$\therefore y=-x^{2}+x+2$.设直线BC的函数表达式为$y=kx+d$，将$B(2,0),C(0,2)$代入，得$\{\begin{array}{l} 2k+d=0,\\ d=2,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} k=-1,\\ d=2,\end{array} $$\therefore y=-x+2$.
(2)由题意知，当$△ CPN$是直角三角形时，分$∠CPN=90^{\circ }$和$∠PCN=90^{\circ }$两种情况.
当$∠CPN=90^{\circ }$时，由题意知，$CP// x$轴，$\therefore n=2$，
$\therefore -m^{2}+m+2=2$，解得$m=0$（舍去）或$m=1$；
当$∠PCN=90^{\circ }$时，$\because P(m,n),N(m,0)$，
$\therefore PC^{2}=m^{2}+(n-2)^{2},NC^{2}=m^{2}+4,PN^{2}=n^{2}$，
由勾股定理，得$PC^{2}+NC^{2}=PN^{2}$，即$m^{2}+(n-2)^{2}+m^{2}+4=n^{2}$①，又$\because -m^{2}+m+2=n$②，
联立①②，解得$m=\frac {2}{3}$或$m=0$（舍去）.
综上所述，m的值为1或$\frac {2}{3}$.
(3)$\because$点M在直线BC上，且$P(m,n)$，$\therefore$点M的坐标为$(m,-m+2)$，
$\therefore CM^{2}=(m-0)^{2}+(-m+2-2)^{2}=2m^{2},OM^{2}=m^{2}+(-m+2)^{2}=2m^{2}-4m+4,OC^{2}=4$，
当$△ OCM$为等腰三角形时，分以下三种情况：
①当$CM=OM$时，则$CM^{2}=OM^{2}$，$\therefore 2m^{2}=2m^{2}-4m+4$，解得$m=1$；
②当$CM=OC$时，则$CM^{2}=OC^{2}$，$\therefore 2m^{2}=4$，解得$m=\sqrt {2}$或$m=-\sqrt {2}$（舍去）；
③当$OM=OC$时，则$OM^{2}=OC^{2}$，$\therefore 2m^{2}-4m+4=4$，解得$m=2$或$m=0$（舍去）.
综上所述，m的值为1或$\sqrt {2}$或2.
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