《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC = 135^{\circ}$，$AB = 2\sqrt{2}$，$\sin C = \frac{2}{5}$，求$BC$的长.

答案：
1. 解:过点A作AD⊥BC,垂足为D,如答图.
　　　　　
∵∠ABC=135°,
∴∠ABD=45°.
在Rt△ABD中,sin45°=$\frac{AD}{AB}$,则AD=AB·sin45°=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2,
∴BD=2.
在Rt△ACD中,sinC=$\frac{AD}{AC}$,则AC=$\frac{AD}{sinC}$=$\frac{2}{\frac{2}{5}}$=5.
由勾股定理,得CD=$\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-2^{2}}$=$\sqrt{21}$,
∴BC=CD - BD=$\sqrt{21}$-2.

2. 如图，在$△ ABC$中，$AC = 12$，$∠ C = 45^{\circ}$，$∠ B = 120^{\circ}$，求$BC$的长.

答案：
2. 解:如答图，过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D,则∠ADC=90°.
在Rt△ADC中,∠C=45°,
∴AD=DC,
根据勾股定理,得AD²+DC²=AC²,
即2AD²=AC²=12²,
解得AD=DC=6$\sqrt{2}$.
∵∠ABC=120°,
∴∠ABD=60°.
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,
BD=AD·tan∠BAD=6$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{6}$,
∴BC=DC - DB=6$\sqrt{2}$-2$\sqrt{6}$.
　　　　　　　　　　　　　　　　

3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 30^{\circ}$，$∠ C = 135^{\circ}$. 当$AC = 4$时，求$BC$的长.（说明：解题中如果需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹，不用写作法）

答案：
3. 解:过点A作BC的垂线,垂足为M,如答图.
∵∠ACB=135°,
∴∠ACM=45°.
在Rt△ACM中,cos∠ACM=$\frac{CM}{AC}$,
∴$\frac{CM}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,则CM=2$\sqrt{2}$,
∴AM=2$\sqrt{2}$.
在Rt△ABM中,tanB=$\frac{AM}{BM}$,
∴$\frac{2\sqrt{2}}{BM}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,则BM=2$\sqrt{6}$,

∴BC=BM - CM=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$.