《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. 抛物线与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,其中点 $ A $ 的坐标为 $ (-3,0) $,点 $ C $ 的坐标为 $ (0,-3) $,对称轴为直线 $ x=-1 $. 设 $ Q $ 是线段 $ AC $ 上的动点,作 $ QD // y $ 轴交抛物线于点 $ D $,则线段 $ QD $ 长度的最大值为$\frac{9}{4}$.

答案： 1. $\frac{9}{4}$

2. 如图①,在平面直角坐标系中,直线 $ y=-x-2 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,抛物线 $ y=ax^{2}+bx+c(a＞0) $ 经过 $ A,B $ 两点,并与 $ x $ 轴的正半轴交于点 $ C $.
(1) 求 $ a,b $ 满足的关系式及 $ c $ 的值;
(2) 当 $ a=\frac{1}{4} $ 时,若 $ P $ 是抛物线对称轴上的一个动点,求 $ △ PAB $ 周长的最小值;
(3) 如图②,当 $ a=1 $ 时,若 $ Q $ 是直线 $ AB $ 下方抛物线上的一个动点,过点 $ Q $ 作 $ QD ⊥ AB $ 于点 $ D $,当 $ QD $ 的值最大时,求此时点 $ Q $ 的坐标及 $ QD $ 的最大值.

答案：
2. 解：
(1)直线$y=-x-2$中，当$x=0$时，$y=-2$，
$\therefore B(0,-2)$，当$y=0$时，$-x-2=0$，
$\therefore x=-2$，$\therefore A(-2,0)$。将$A(-2,0)$，$B(0,-2)$代入$y=ax^{2}+bx+c(a＞0)$中，得
$\begin{cases}4a - 2b + c = 0\\c = - 2\end{cases}$，$\therefore 2a - b = 1$，$c = - 2$。
(2)当$a=\frac{1}{4}$时，$2×\frac{1}{4}-b=1$，$\therefore b=-\frac{1}{2}$，
$\therefore$抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x - 2=\frac{1}{4}(x - 1)^{2}-\frac{9}{4}$，$\therefore$抛物线的对称轴是直线$x = 1$。
由对称性可得$C(4,0)$，要使$△ ABP$的周长最小，只需$AP + BP$最小即可，
如答图①，连接$BC$交直线$x = 1$于点$P$，连接$AP$。因为点$A$与点$C$关于直线$x = 1$对称，由对称性可知$AP + BP = PC + BP = BC$，此时$△ ABP$的周长最小，所以$△ ABP$的周长等于$AB + BC$。
在$Rt△ AOB$中，$AB=\sqrt{AO^{2}+OB^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$，
在$Rt△ BOC$中，$BC=\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\therefore△ ABP$周长的最小值为$2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$。
(3)当$a = 1$时，$2×1 - b = 1$，$\therefore b = 1$，$\therefore y = x^{2}+x - 2$，
$\therefore A(-2,0)$，$B(0,-2)$，$C(1,0)$，
$\therefore OA = OB$，$\therefore△ AOB$是等腰直角三角形，
$\therefore∠ OAB = 45^{\circ}$。
如答图②，过点$Q$作$QF⊥ x$轴于点$F$，交$AB$于点$E$，则$△ EQD$是等腰直角三角形，
设$Q(m,m^{2}+m - 2)$，则$E(m,-m - 2)$，
$\therefore QE = (-m - 2)-(m^{2}+m - 2)=-m^{2}-2m=-(m + 1)^{2}+1$，
$\therefore QD=\frac{\sqrt{2}}{2}QE=-\frac{\sqrt{2}}{2}(m + 1)^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，当$m = - 1$时，$QD$有最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当$m = - 1$时，$y = 1 - 1 - 2 = - 2$，
综上，点$Q$的坐标为$(-1,-2)$时，$QD$有最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$。