《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. 如图，抛物线 $ y = ax^{2} + 2x + c(a ≠ 0) $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $，$ B $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，连接 $ BC $，$ OA = 1 $，$ OB = 5 $，$ D $ 是抛物线的顶点，$ E $ 是第一象限内抛物线上的动点，$ P $ 为 $ y $ 轴上一点，过点 $ P $ 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 $ M $，当 $ △ BCE $ 的面积最大，且 $ EM + MP + PB $ 的值最小时，点 $ M $ 的坐标为$(2,\frac {175}{44})$.

答案： 1. $(2,\frac {175}{44})$

2. 如图①，抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a ≠ 0) $ 与直线 $ y = x + 1 $ 相交于 $ A(-1,0) $，$ B(4,m) $ 两点，且抛物线经过点 $ C(5,0) $.
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) $ P $ 是抛物线上的一个动点（不与点 $ A $，$ B $ 重合），过点 $ P $ 作直线 $ PD ⊥ x $ 轴于点 $ D $，交直线 $ AB $ 于点 $ E $. 当 $ PE = 2ED $ 时，求点 $ P $ 的坐标；
(3) 如图②，设抛物线与 $ y $ 轴交于点 $ F $，在第一象限的抛物线上，是否存在一点 $ Q $，使得四边形 $ OFQC $ 的面积最大？若存在，请求出点 $ Q $ 的坐标；若不存在，说明理由.

答案：
2. 解:
(1)
∵点$B(4,m)$在直线$y=x+1$上,
∴$m=4+1=5$，
∴$B(4,5)$。
把A，B，C三点的坐标代入$y=ax^{2}+bx+c$，得
$\begin{cases}a - b + c = 0\\16a + 4b + c = 5\\25a + 5b + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = 4\\c = 5\end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为$y = -x^{2}+4x + 5$。
(2)设$P(x,-x^{2}+4x + 5)$，则$E(x,x + 1)$，$D(x,0)$。
则$PE = |-x^{2}+4x + 5-(x + 1)| = |-x^{2}+3x + 4|$，$DE = |x + 1|$。
∵$PE = 2ED$，
∴$|-x^{2}+3x + 4| = 2|x + 1|$。
当$-x^{2}+3x + 4 = 2(x + 1)$时，解得$x = -1$或$x = 2$，但当$x = -1$时，点P与点A重合，不合题意，舍去，
∴$P(2,9)$；
当$-x^{2}+3x + 4 = -2(x + 1)$时，解得$x = -1$或$x = 6$，但当$x = -1$时，点P与点A重合，不合题意，舍去，
∴$P(6,-7)$。
综上，点P的坐标为$(2,9)$或$(6,-7)$。
(3)存在这样的点Q，使得四边形OFQC的面积最大。在$y = -x^{2}+4x + 5$中，令$x = 0$，得$y = 5$，
∴$F(0,5)$。如答图，过点Q作$QP⊥x$轴于点P。

设$Q(n,-n^{2}+4n + 5)(0 ＜ n ＜ 5)$，
则$PO = n$，$PQ = -n^{2}+4n + 5$，$CP = 5 - n$，四边形OFQC的面积为$S_{四边形PQFO}+S_{△ PQC}=\frac{1}{2}×(-n^{2}+4n + 5 + 5)· n+\frac{1}{2}×(5 - n)×(-n^{2}+4n + 5)=-\frac{5}{2}n^{2}+\frac{25}{2}n+\frac{25}{2}=-\frac{5}{2}(n - \frac{5}{2})^{2}+\frac{225}{8}$。
当$n = \frac{5}{2}$时，四边形OFQC的面积取得最大值，最大值为$\frac{225}{8}$，此时点Q的坐标为$(\frac{5}{2},\frac{35}{4})$。