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1. 如图，将抛物线$y = x^{2}-2x - 3$在$x$轴下方的图像沿$x$轴翻折到$x$轴上方，原抛物线$x$轴上方的图像与翻折得到的图像组成一个新函数的图像，若直线$y = x + b$与新函数的图像有三个交点，则$b$的值是
1或$\frac{13}{4}$
.
答案：
1.1或$\frac{13}{4}$
2. 在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$L:y = x^{2}-4mx + 2m^{2}-1$的顶点为$D$. 将抛物线$L$沿直线$y = 1$翻折，得到的新抛物线的顶点为$C$，若$m＞0$，$CD = 8$，求$m$的值.
答案：
2.解:
∵y=x²−4mx+2m²−1=(x−2m)²−2m²−1,
∴抛物线的顶点坐标为(2m,−2m²−1).
由对称性可知，点D到直线y=1的距离为4,
又CD=8,m＞0,
∴点D在直线y=1下方，
∴1+2m²+1=4,
∴m=±1.又m＞0,
∴m=1.
∵y=x²−4mx+2m²−1=(x−2m)²−2m²−1,
∴抛物线的顶点坐标为(2m,−2m²−1).
由对称性可知，点D到直线y=1的距离为4,
又CD=8,m＞0,
∴点D在直线y=1下方，
∴1+2m²+1=4,
∴m=±1.又m＞0,
∴m=1.
3. 如图，抛物线$y = ax^{2}+x + c$与$x$轴交于$A(-2,0)$，$B(4,0)$两点，与$y$轴交于点$C$.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)过点$C$作直线$l// x$轴，将抛物线在$y$轴左侧的部分沿直线$l$翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图像，请你结合新图像解答：当直线$y = -\frac{1}{2}x + d$与新图像只有一个公共点$Q(m,n)$，且$n≥ - 8$时，求$d$的取值范围.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)过点$C$作直线$l// x$轴，将抛物线在$y$轴左侧的部分沿直线$l$翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图像，请你结合新图像解答：当直线$y = -\frac{1}{2}x + d$与新图像只有一个公共点$Q(m,n)$，且$n≥ - 8$时，求$d$的取值范围.
答案：
3.解:
(1)把A(−2,0),B(4,0)代入y=ax²+x+c,得
$\begin{cases}4a - 2 + c = 0 \\16a + 4 + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2} \\c = 4\end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为y=−$\frac{1}{2}$x²+x+4.
(2)①当公共点Q(m,n)在C(0,4)下方时，
在y=−$\frac{1}{2}$x²+x+4中,
令y=−8,得−8=−$\frac{1}{2}$x²+x+4,
解得x=6或x=−4,
∵将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图像，
∴新图像过点(6，−8).
当直线y=−$\frac{1}{2}$x+d与新图像的公共点为(6，−8)时，−8=−$\frac{1}{2}$×6+d,解得d=−5,
如答图①,
∵C(0,4),当−5≤d＜4时，观察图像可知直线y=−$\frac{1}{2}$x+d与翻折后的抛物线无交点，
∴当−5≤d＜4时,直线y=−$\frac{1}{2}$x+d与新图像只有一个公共点;
②当公共点Q(m,n)在C(0,4)上方时,如答图②,
联立$\begin{cases}y = -\frac{1}{2}x + d \\y = -\frac{1}{2}x² + x + 4\end{cases}$
即−$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+4−d=0,
则b²−4ac=($\frac{3}{2}$)²−4×(−$\frac{1}{2}$)×(4−d)=0,
解得d=$\frac{41}{8}$.
由图可知,当d＞$\frac{41}{8}$时,直线y=−$\frac{1}{2}$x+d与新图像只有一个公共点
综上所述,d的取值范围是−5≤d＜4或d＞$\frac{41}{8}$.
3.解:
(1)把A(−2,0),B(4,0)代入y=ax²+x+c,得
$\begin{cases}4a - 2 + c = 0 \\16a + 4 + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2} \\c = 4\end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为y=−$\frac{1}{2}$x²+x+4.
(2)①当公共点Q(m,n)在C(0,4)下方时，
在y=−$\frac{1}{2}$x²+x+4中,
令y=−8,得−8=−$\frac{1}{2}$x²+x+4,
解得x=6或x=−4,
∵将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图像，
∴新图像过点(6，−8).
当直线y=−$\frac{1}{2}$x+d与新图像的公共点为(6，−8)时，−8=−$\frac{1}{2}$×6+d,解得d=−5,
如答图①,
∵C(0,4),当−5≤d＜4时，观察图像可知直线y=−$\frac{1}{2}$x+d与翻折后的抛物线无交点，
∴当−5≤d＜4时,直线y=−$\frac{1}{2}$x+d与新图像只有一个公共点;
②当公共点Q(m,n)在C(0,4)上方时,如答图②,
联立$\begin{cases}y = -\frac{1}{2}x + d \\y = -\frac{1}{2}x² + x + 4\end{cases}$
即−$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+4−d=0,
则b²−4ac=($\frac{3}{2}$)²−4×(−$\frac{1}{2}$)×(4−d)=0,
解得d=$\frac{41}{8}$.
由图可知,当d＞$\frac{41}{8}$时,直线y=−$\frac{1}{2}$x+d与新图像只有一个公共点
综上所述,d的取值范围是−5≤d＜4或d＞$\frac{41}{8}$.
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