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1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = -\dfrac{1}{2}x^{2} + 3x + c(0 ≤ x ≤ 7) $ 与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ (7,0) $，设该图像上任意两点的坐标分别是 $ (x_{1},y_{1}) $，$ (x_{2},y_{2}) $，其中 $ x_{1} ＜ x_{2} $，$ d $ 为 $ x_{1} ≤ x ≤ x_{2} $ 时 $ y $ 的最大值与最小值的差. 若 $ x_{2} - x_{1} = 6 $，则 $ d $ 的取值范围是
$\frac{9}{2} ≤ d ≤ 8$
.
答案：
1. $\frac{9}{2} ≤ d ≤ 8$
2. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx - 1(a ＞ 0) $ 经过点 $ (2,-1) $，当 $ 1 - 2m ≤ x ≤ 1 + 3m $ 时，$ y $ 的最小值为 $ -2 $.
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 当 $ n ＜ x ＜ n + 1 $ 时，$ y $ 的取值范围是 $ 2n + 1 ＜ y ＜ 2n + 4 $，求 $ n $ 的值.
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 当 $ n ＜ x ＜ n + 1 $ 时，$ y $ 的取值范围是 $ 2n + 1 ＜ y ＜ 2n + 4 $，求 $ n $ 的值.
答案：
2. 解:
(1) $\because$ 抛物线 $y=a x^{2}+b x-1(a＞0)$ 经过点 $(2,-1)$,
$\therefore 4 a+2 b-1=-1, \therefore b=-2 a . \therefore y=a x^{2}-2 a x-1$,
$\therefore$ 该抛物线的对称轴为直线 $x=1$.
$\because$ 当 $1-2 m ≤ x ≤ 1+3 m$ 时, $y$ 的最小值为 -2 .
$\therefore$ 当 $x=1$ 时, $a-2 a-1=-2$, 解得 $a=1$,
$\therefore y=x^{2}-2 x-1$.
(2) 由
(1) 知, 抛物线的函数表达式为 $y=(x-1)^{2}-2$.
$\because$ 当 $n＜x＜n+1$ 时, $y$ 的取值范围是 $2 n+1＜y＜2 n+4$,
$\therefore y$ 不能取最小值 -2 , 即 $n, n+1$ 在对称轴 $x=1$ 的同侧.
分两种情况讨论:
(1) $n+1＜1$, 即 $n＜0$ 时,
在对称轴左侧 $y$ 随 $x$ 的增大而减小,
当 $x=n$ 时, $(n-1)^{2}-2=2 n+4$,
解得 $n=-1$ 或 $n=5$;
当 $x=n+1$ 时, $(n+1-1)^{2}-2=2 n+1$,
解得 $n=-1$ 或 $n=3$.
$\because n＜0, \therefore n=-1$.
(2) $n＞1$ 时, 在对称轴右侧 $y$ 随 $x$ 的增大而增大,
当 $x=n$ 时, $(n-1)^{2}-2=2 n+1$,
整理, 得 $n^{2}-4 n-2=0$.
当 $x=n+1$ 时, $(n+1-1)^{2}-2=2 n+4$,
整理, 得 $n^{2}-2 n-6=0$.
$\because n^{2}-4 n-2=0$ 与 $n^{2}-2 n-6=0$ 不一致,
$\therefore$ 不合题意, 舍去. 综上所述, $n=-1$.
(1) $\because$ 抛物线 $y=a x^{2}+b x-1(a＞0)$ 经过点 $(2,-1)$,
$\therefore 4 a+2 b-1=-1, \therefore b=-2 a . \therefore y=a x^{2}-2 a x-1$,
$\therefore$ 该抛物线的对称轴为直线 $x=1$.
$\because$ 当 $1-2 m ≤ x ≤ 1+3 m$ 时, $y$ 的最小值为 -2 .
$\therefore$ 当 $x=1$ 时, $a-2 a-1=-2$, 解得 $a=1$,
$\therefore y=x^{2}-2 x-1$.
(2) 由
(1) 知, 抛物线的函数表达式为 $y=(x-1)^{2}-2$.
$\because$ 当 $n＜x＜n+1$ 时, $y$ 的取值范围是 $2 n+1＜y＜2 n+4$,
$\therefore y$ 不能取最小值 -2 , 即 $n, n+1$ 在对称轴 $x=1$ 的同侧.
分两种情况讨论:
(1) $n+1＜1$, 即 $n＜0$ 时,
在对称轴左侧 $y$ 随 $x$ 的增大而减小,
当 $x=n$ 时, $(n-1)^{2}-2=2 n+4$,
解得 $n=-1$ 或 $n=5$;
当 $x=n+1$ 时, $(n+1-1)^{2}-2=2 n+1$,
解得 $n=-1$ 或 $n=3$.
$\because n＜0, \therefore n=-1$.
(2) $n＞1$ 时, 在对称轴右侧 $y$ 随 $x$ 的增大而增大,
当 $x=n$ 时, $(n-1)^{2}-2=2 n+1$,
整理, 得 $n^{2}-4 n-2=0$.
当 $x=n+1$ 时, $(n+1-1)^{2}-2=2 n+4$,
整理, 得 $n^{2}-2 n-6=0$.
$\because n^{2}-4 n-2=0$ 与 $n^{2}-2 n-6=0$ 不一致,
$\therefore$ 不合题意, 舍去. 综上所述, $n=-1$.
3. 规定：$ P(x_{1},y_{1}) $，$ Q(x_{2},y_{2}) $ 为函数图像上不重合的两点，若 $ PQ // x $ 轴，则称点 $ P $，$ Q $ 互为这个函数的“平行点”.
(1) 函数① $ y_{1} = |x| $；② $ y_{2} = 2x + 1 $；③ $ y_{3} = \dfrac{3}{x} $ 中，有“平行点”的函数为
(2) 若点 $ C(-5,y_{1}) $，$ D(1,y_{2}) $ 为二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 图像上的一对“平行点”，点 $ E(x_{0},y_{0}) $ 在函数图像上，当 $ -2 ≤ x_{0} ≤ 1 $ 时，$ -1 ≤ y_{0} ≤ 1 $，求 $ c $ 的值.
(1) 函数① $ y_{1} = |x| $；② $ y_{2} = 2x + 1 $；③ $ y_{3} = \dfrac{3}{x} $ 中，有“平行点”的函数为
①
；(填序号)(2) 若点 $ C(-5,y_{1}) $，$ D(1,y_{2}) $ 为二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 图像上的一对“平行点”，点 $ E(x_{0},y_{0}) $ 在函数图像上，当 $ -2 ≤ x_{0} ≤ 1 $ 时，$ -1 ≤ y_{0} ≤ 1 $，求 $ c $ 的值.
答案：
3.
(1) ①
(2) 解: $\because$ 点 $C(-5, y_1), D(1, y_2)$ 为二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$
图像上的一对 “平行点”, $\therefore y_1=y_2$,
$\therefore$ 二次函数图像的对称轴为直线 $x=\frac{-5+1}{2}=-2$,
$\therefore-\frac{b}{2 a}=-2, \therefore b=4 a$.
$\because$ 对称轴为直线 $x=-2$,
$\therefore-2 ≤ x_0 ≤ 1$ 时, 函数单调递增或单调递减,
(1) $a, b$ 均大于 0 时, $y_0$ 随 $x_0$ 的增大而增大,
$x_0=-2$ 时, $y_0=-1 ; x_0=1$ 时, $y_0=1$,
$\therefore\{\begin{array}{l}4 a-2 b+c=-1, \\ a+b+c=1, \\ b=4 a,\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{9}, \\ b=\frac{8}{9}, \\ c=-\frac{1}{9},\end{array} $
(2) $a, b$ 均小于 0 时, $y_0$ 随 $x_0$ 的增大而减小,
$x_0=-2$ 时, $y_0=1 ; x_0=1$ 时, $y_0=-1$,
$\therefore\{\begin{array}{l}4 a-2 b+c=1, \\ a+b+c=-1, \\ b=4 a,\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l}a=-\frac{2}{9}, \\ b=-\frac{8}{9}, \\ c=\frac{1}{9},\end{array} $
综上, $c$ 的值为 $-\frac{1}{9}$ 或 $\frac{1}{9}$.
(1) ①
(2) 解: $\because$ 点 $C(-5, y_1), D(1, y_2)$ 为二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$
图像上的一对 “平行点”, $\therefore y_1=y_2$,
$\therefore$ 二次函数图像的对称轴为直线 $x=\frac{-5+1}{2}=-2$,
$\therefore-\frac{b}{2 a}=-2, \therefore b=4 a$.
$\because$ 对称轴为直线 $x=-2$,
$\therefore-2 ≤ x_0 ≤ 1$ 时, 函数单调递增或单调递减,
(1) $a, b$ 均大于 0 时, $y_0$ 随 $x_0$ 的增大而增大,
$x_0=-2$ 时, $y_0=-1 ; x_0=1$ 时, $y_0=1$,
$\therefore\{\begin{array}{l}4 a-2 b+c=-1, \\ a+b+c=1, \\ b=4 a,\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{9}, \\ b=\frac{8}{9}, \\ c=-\frac{1}{9},\end{array} $
(2) $a, b$ 均小于 0 时, $y_0$ 随 $x_0$ 的增大而减小,
$x_0=-2$ 时, $y_0=1 ; x_0=1$ 时, $y_0=-1$,
$\therefore\{\begin{array}{l}4 a-2 b+c=1, \\ a+b+c=-1, \\ b=4 a,\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l}a=-\frac{2}{9}, \\ b=-\frac{8}{9}, \\ c=\frac{1}{9},\end{array} $
综上, $c$ 的值为 $-\frac{1}{9}$ 或 $\frac{1}{9}$.
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