《2026年金考卷特快专递高中物理》

14. (16 分)某种弹射装置如图所示，左端固定的轻弹簧处于压缩状态且锁定，弹簧具有的弹性势能$E_p = 18\ J$，质量$m = 1\ kg$的小滑块静止于弹簧右端，光滑水平导轨$OA$的右端与水平传送带平滑连接，传送带长度$L = 10\ m$，传送带以恒定速率$v_0 = 10\ m/s$顺时针转动。某时刻解除锁定，滑块被弹簧弹射后滑上传送带，并从传送带右端水平滑离落至地面$P$点。已知滑块到达$A$点前已经离开弹簧，滑块与传送带之间的动摩擦因数$\mu = 0.4$，不计空气阻力，重力加速度大小$g$取$10\ m/s^2$。
(1)求滑块离开传送带时的速度大小$v$；
(2)求电动机传送滑块多消耗的电能$E$；
(3)若每次开始时弹射装置具有不同的弹性势能$E_p'$，要使滑块滑离传送带后总能落至$P$点，求$E_p'$的取值范围。

答案： 14.
(1) 水平导轨OA光滑，滑块在OA段运动，根据机械能守恒定律有$E_{p} = \frac{1}{2}mv^{2}$，解得滑块在A点的速度大小为$v_{A} = 6m/s ＜ v_{0}$
解法一 运动学角度
当滑块滑上传送带，对滑块进行受力分析，由牛顿第二定律知$\mu mg = ma$，解得滑块在传送带上加速过程的加速度大小$a = 4m/s^{2}$
设滑块加速至与传送带共速时，滑块的对地位移为x，则由速度位移公式可知$v^{2}_{0} - v^{2}_{A} = 2ax_{1}$，解得$x_{1} = 8m ＜ L$
故滑块在传送带上先加速至$v_{0}$，后匀速运动，所以滑块离开传送带时的速度大小$v = v_{0} = 10m/s$
解法二 动能定理
对滑块从滑上传送带到与传送带共速过程，根据动能定理有$\mu mgx = \frac{1}{2}mv^{2}_{0} - \frac{1}{2}mv^{2}_{A}$，解得$x = 8m ＜ L$
故滑块离开传送带时与传送带共速，即$v = v_{0} = 10m/s$
(2) 滑块在传送带上先加速后匀速运动，加速时间为$t = \frac{v_{0} - v_{A}}{a} = 1s$
滑块加速阶段，传送带的位移为$s = v_{0}t = 10m$
解法一 以滑块和传送带为研究对象
电动机传送滑块多消耗的电能等于滑块机械能的增加量与传送带和滑块间因摩擦产生的热量之和，即$E = \Delta E_{机} + Q$，传送滑块过程，滑块机械能的增加量为$\Delta E_{机} = \frac{1}{2}mv^{2}_{0} - \frac{1}{2}mv^{2}_{A} = 32J$
传送带与滑块间因摩擦产生的热量为$Q = fx_{相对} = \mu mg(s - x_{1}) = 8J$
故电动机传送滑块多消耗的电能为$E = \Delta E_{机} + Q = 40J$
解法二 以传送带为研究对象
由于电动机传送滑块多消耗的电能等于电动机传送滑块过程传送带克服摩擦力做的功与传送带自身的动能变化量之和，则$E = W_{克f} = \mu mgs = 40J$
(3) 若使滑块最终均落在P点，则需满足滑块滑出传送带时与传送带共速。故滑块落在P点的临界情况为①滑块刚好加速到与传送带共速时离开传送带，此时弹射装置对应的弹性势能最小，②滑块刚好减速到与传送带共速时离开传送带，此时弹射装置对应的弹性势能最大。由速度位移公式得滑块滑上传送带的最大初速度满足$v^{2}_{0} - v^{2}_{min} = 2aL$，由机械能守恒定律得弹射装置的最小弹性势能为$E'_{pmin} = \frac{1}{2}mv^{2}_{min} = 10J$
同理，滑块滑上传送带的最大初速度满足$v^{2}_{max} - v^{2}_{0} = 2aL$
由机械能守恒定律得弹射装置的最大弹性势能为$E'_{pmax} = \frac{1}{2}mv^{2}_{max} = 90J$
所以滑块滑离传送带后总能落至P点时，弹射装置的弹性势能$E'_{p}$的取值范围为$10J \leq E'_{p} \leq 90J$

15. (18 分)如图 (a) 所示，将长为$L = 0.8\ m$的粗糙木板$B$（右侧有一挡板）放置在光滑水平地面上，并将其锁定，小物块$A$以初速度$v_0 = 2\ m/s$从左端滑上木板，恰能与挡板发生碰撞。现解除锁定，并在$B$中点放置与$A$完全相同的小物块$C$，如图 (b) 所示，$A$以某一初速度滑上木板。已知$A$、$B$（连同挡板）、$C$质量相等，所有碰撞时间极短且均为弹性碰撞，$A$、$C$与$B$的动摩擦因数相同，重力加速度大小$g$取$10\ m/s^2$。
(1)求物块与木板间的动摩擦因数。
(2)若要求$A$与$C$能够发生碰撞，$A$滑上木板的初速度大小应该满足什么条件？
(3)若要求$A$从木板上掉下来，而$C$不从木板上掉下来，则$A$滑上木板的初速度大小应该满足什么条件？

答案： 15.
(1) 粗糙木板B锁定时，A恰能与挡板发生碰撞，则A速度减为0时恰运动到木板右端与挡板发生碰撞
解法一 能量观点
A从滑上木板到运动至挡板处过程由动能定理有$- \mu mgL = 0 - \frac{1}{2}mv^{2}_{0}$，解得物块与木板间的动摩擦因数为$\mu = 0.25$
解法二 运动学观点
当A在锁定的粗糙木板上向右运动时，由牛顿第二定律可知A的加速度大小为$a_{1} = \mu g$
由匀变速直线运动速度位移公式有$- 2a_{1}L = 0 - v^{2}_{0}$，联立解得物块与木板间的动摩擦因数为$\mu = 0.25$
(2) 解除B的锁定后，A滑上木板时，A受摩擦力作用做加速度大小为$a_{1} = \mu g$的匀减速直线运动，假设C与木板相对静止，则由牛顿第二定律有$\mu mg = 2ma_{2}$，解得$a_{2} = 0.5\mu g$
此时C受到的摩擦力大小为$f = ma_{2} = 0.5\mu mg ＜ \mu mg$，故假设成立，即A滑上木板时，木板和C一起由静止以$a_{2}$的加速度向右做匀加速直线运动，若A与木板和C共速时，A还未运动到C所在处与C发生碰撞，则此后由于水平地面是光滑的，三者将一起向右做匀速直线运动，A不可能与C发生碰撞，故当A与木板和C共速时恰与C碰撞，此时A滑上木板的初速度为A与C能够发生碰撞的最小速度，设该速度为$v_{A2}$，则从A滑上木板到三者共速的过程，由动量守恒定律有$mv_{A2} = 3mv_{共2}$
由功能关系有$\mu mg · 2L = \frac{1}{2}mv^{2}_{A2} - \frac{1}{2} × 3mv^{2}_{共2}$，联立解得$v_{A2} = 2\sqrt{3}m/s$
若C恰好不从木板左端掉下，即C滑到木板左端时，C与木板恰好共速，则此时A滑上木板的初速度为所求较大的临界速度，设该速度为$v_{A3}$，A运动到木板左端时A、C的速度均为$v_{A4}$，木板的速度为$v_{B}$，C与木板共速的速度为$v_{共3}$，则A从滑上木板到运动至木板左端的过程，对A、B、C组成的系统由动量守恒定律有$mv_{A3} = 2mv_{A4} + mv_{B}$
由功能关系有$\mu mg · 2L = \frac{1}{2}mv^{2}_{A3} - \frac{1}{2} × 2mv^{2}_{A4} - \frac{1}{2}mv^{2}_{B}$
之后A从木板上掉下，C相对木板B向左运动，A从木板上掉下后，对B、C组成的系统由动量守恒定律有$mv_{A4} + mv_{B} = 2mv_{共3}$
由功能关系有$\mu mg · \frac{L}{2} = \frac{1}{2}mv^{2}_{A4} + \frac{1}{2}mv^{2}_{B} - \frac{1}{2} × 2mv^{2}_{共3}$
联立解得$v_{A3} = 4m/s$
则A从木板上掉下来而C不从木板上掉下来时，A滑上木板的初速度大小满足$2\sqrt{3}m/s ＜ v_{A} \leq 4m/s$