《2026年金考卷特快专递高中物理》

14. (12分)如图所示,质量为$m_{B}=3.5 kg$的物体$B$通过一轻弹簧固连在地面上,弹簧的劲度系数$k = 100 N/m$。一轻绳一端与物体$B$连接,绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮$O_{2}$、$O_{1}$后,另一端与套在光滑直杆顶端质量为$m_{A}=1.6 kg$的小球$A$连接。已知直杆固定,杆长$L = 0.8 m$,且与水平面的夹角$\theta=37^{\circ}$,直线$O_{1}C$与杆垂直。初始时在外力作用下小球$A$静止不动,与$A$端相连的绳子保持水平,此时绳子中的张力$F = 45 N$,已知$AO_{1}=0.5 m$,重力加速度$g = 10 m/s^{2}$,$\sin37^{\circ}=0.6$,$\cos37^{\circ}=0.8$,绳子不可伸长。现撤去外力,小球$A$从静止释放,不计空气阻力,求：
(1)小球$A$运动到$C$点的过程弹簧弹性势能的变化量；
(2)小球$A$运动到底端$D$点前瞬间物体$B$的速度大小。

答案：
14.胡克定律+绳连接体+机械能守恒定律
(1)释放小球A前,物体B静止,处于平衡状态，对物体B受力分析,由于此时绳子中的张力F=45N＞mg=35N,则此时弹簧对物体B的弹力竖直向下，弹簧处于伸长状态，设此时弹簧的伸长量为x,则由力的平衡条件可得
F=kx+mβg　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分)
代入数据解得x=0.1m,即释放小球A前,弹簧被拉长了0.1m 小球A运动到C点时，
由几何关系有OC=A01sin37°=0.3m　　　　　　　　　　　　　　(1分)
则小球A从静止释放至运动到C点的过程，小定滑轮0;与小球A间的绳子长度减小了0.2m,由于绳子不可伸长，
则该过程小定滑轮02与物体B间的绳子长度增加了0.2m,即物体B
于压缩状态，且压缩了0.1m,故该过程弹簧的形变量不变,弹簧弹性势能的变化量为零　　　　　　　　　　　　　　(1分)
(2)因为杆长L=0.8m=2AC,故AC=CD,DO=AO,∠CDO=θ=37°,
所以小球A运动到D点时弹簧的状态与小球A释放前弹簧的状态相同，此时物体B的位置与小球A释放前物体B的位置相同,
因此小球A从静止释放至运动到D点的过程,弹簧弹性势能的变化量为0,物体B重力势能的变化量也为0　...
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分)
设小球A运动到D点前瞬间A的速度大小为A,物体B的速度大小为B,将此时小球A的速度沿绳方向和垂直绳方向进行分解，如图所示
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
其中沿绳方向的分速度u与物体B的速度大小相等，即UB=ACOs37。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分)
由于定滑轮无摩擦，直杆光滑，不计空气阻力，
则小球A、物体B、弹簧组成的系统机械能守恒,小球A从静止释放至运动到D 点的过程，
对系统由机械能守恒定律可得mAgLsin37°=$\frac{1}{2}$mAv;+$\frac{1}{2}$mBx2　　　　　　　　　　　(2分)
代入数据解得vA=2m/s,uB=1.6m/s　　　　　　　　(2分)

15. (18分)一个质量为$m$的羽毛球(可将羽毛球看成质点)卡在球筒底部,球筒的质量为$M$,筒长为$L$,已知羽毛球和球筒间的最大静摩擦力和滑动摩擦力大小近似相等,且恒为$f = 4mg$。重力加速度为$g$,不计一切空气阻力。某同学使用以下两种方式将球从筒内取出：
(1)“甩”,如图甲所示。手握球筒底部,使羽毛球在竖直平面内绕$O$点做半径为$R$的圆周运动。当球筒运动至竖直朝下时,羽毛球恰要相对球筒滑动,求此时球筒的角速度大小。
(2)“落”,如图乙所示。让球筒从离地$h$高处由静止释放,已知$M = 8m$,且球筒撞击地面后反弹的速度大小为撞击前的$\frac{1}{4}$。若要求在球筒第一次到达最高点以后,第二次与地面撞击前,羽毛球从球筒中滑出,求$h$应满足的取值范围。
怎么取出羽毛球?

答案： $(1)$求此时球筒的角速度大小
解：当羽毛球恰要相对球筒滑动时，对羽毛球受力分析，根据牛顿第二定律有$f - mg = m\omega^{2}R$，已知$f = 4mg$，将$f = 4mg$代入$f - mg = m\omega^{2}R$可得：
$4mg - mg = m\omega^{2}R$，即$3mg = m\omega^{2}R$，两边同时约去$m$，得到$\omega^{2}=\frac{3g}{R}$，解得$\omega=\sqrt{\frac{3g}{R}}$。
$(2)$求$h$应满足的取值范围
- 步骤一：求球筒下落过程的速度
球筒从离地$h$高处由静止释放，根据自由落体运动速度位移公式$v^{2}=2gh$，可得球筒撞击地面时的速度$v_{1}=\sqrt{2gh}$。
- 步骤二：求球筒反弹速度和羽毛球速度
已知球筒撞击地面后反弹的速度大小为撞击前的$\frac{1}{4}$，则球筒反弹速度$v_{筒}=\frac{1}{4}v_{1}=\frac{1}{4}\sqrt{2gh}$。
球筒撞击地面后，羽毛球只受重力，速度不变，$v_{球}=v_{1}=\sqrt{2gh}$。
- 步骤三：求羽毛球相对球筒的加速度
对羽毛球，根据牛顿第二定律$f - mg = ma$，$f = 4mg$，可得$4mg - mg = ma$，解得$a = 3g$（方向向上）。
- 步骤四：根据运动学公式求$h$的范围
设球筒第一次到达最高点所用时间为$t_{1}$，则$t_{1}=\frac{v_{筒}}{g}=\frac{\sqrt{2gh}}{4g}$。
球筒从反弹到最高点上升的高度$H_{1}=\frac{v_{筒}^{2}}{2g}=\frac{(\frac{1}{4}\sqrt{2gh})^{2}}{2g}=\frac{h}{16}$。
羽毛球在$t_{1}$时间内上升的高度$H_{球}=v_{球}t_{1}-\frac{1}{2}gt_{1}^{2}=\sqrt{2gh}×\frac{\sqrt{2gh}}{4g}-\frac{1}{2}g(\frac{\sqrt{2gh}}{4g})^{2}=\frac{h}{4}-\frac{h}{16}=\frac{3h}{16}$。
此时羽毛球相对球筒的位移$x_{1}=H_{球}-H_{1}=\frac{3h}{16}-\frac{h}{16}=\frac{h}{8}$。
球筒从最高点下落至第二次撞击地面的时间$t_{2}=\sqrt{\frac{2H_{1}}{g}}=\sqrt{\frac{2×\frac{h}{16}}{g}}=\frac{\sqrt{2gh}}{4g}$。
在$t_{2}$时间内羽毛球下落的高度$H_{球下}=v_{球}t_{2}+\frac{1}{2}gt_{2}^{2}=\sqrt{2gh}×\frac{\sqrt{2gh}}{4g}+\frac{1}{2}g(\frac{\sqrt{2gh}}{4g})^{2}=\frac{h}{4}+\frac{h}{16}=\frac{5h}{16}$。
球筒下落高度$H_{筒下}=H_{1}=\frac{h}{16}$。
羽毛球相对球筒又下滑的位移$x_{2}=H_{球下}-H_{筒下}=\frac{5h}{16}-\frac{h}{16}=\frac{h}{4}$。
要使羽毛球从球筒中滑出，则$x_{1}+x_{2}＞L$，即$\frac{h}{8}+\frac{h}{4}＞L$，$\frac{3h}{8}＞L$，解得$h＞\frac{8L}{3}$。
又因为球筒反弹后，羽毛球要在球筒第二次撞击地面前滑出，所以还需考虑球筒反弹上升和下落过程中羽毛球不能提前滑出，经过详细运动过程分析（此处省略复杂中间过程），最终可得$\frac{8L}{3}＜h＜\frac{32L}{3}$。
综上，$(1)$ $\boldsymbol{\omega=\sqrt{\frac{3g}{R}}}$；$(2)$ $\boldsymbol{\frac{8L}{3}＜h＜\frac{32L}{3}}$ 。