《2026年金考卷特快专递高中物理》

16. (11 分) 某游戏装置如图所示。半径$R = 1\ m$的竖直细圆弧管道$AB$圆心角$\theta = 127°$, 与光滑水平轨道$BC$平滑连接。足够长的光滑凹槽$CC'D'D$底部水平, 紧靠侧壁$CC'$放置一平板, 平板单位长度质量为$\lambda = 0.3\ kg/m$, 上表面与$BCD$齐平。凹槽右端连接游戏得分区$DE$,$DE$是一段足够长水平粗糙轨道。质量$m = 0.3\ kg$的物块 (可视为质点) 从$P$点水平抛出, 恰好在$A$点无碰撞进入圆弧管道, 速度$v_A = 3\ m/s$, 到$B$点时对管道的压力大小为$F_N = 7.8\ N$。物块经过轨道$BC$后滑上平板并带动平板一起运动, 若平板到达$DD'$即被锁定, 物块继续滑动。已知物块与平板上表面之间、物块与$DE$之间的动摩擦因数均为$\mu = 0.6$, $\sin 37° = 0.6$, $\cos 37° = 0.8$。
(1) 求物块从$P$到$A$的运动时间$t$;
(2) 求$AB$管道对物块的摩擦力做的功$W_f$;
(3) 若平板长度$L = \frac{1}{3}\ m$, 求物块在得分区滑行的距离$x$;
(4) 为使物块能够滑入得分区内, 求平板长度$L$应满足的要求。

答案： 16. 平抛运动+向心力+动量守恒+能量守恒
(1)在A点物块恰好无碰撞进入圆弧管道，则物块在A点的竖直分速度为$v_{Ay} = v_A\cos(127^{\circ} - 90^{\circ}) = 2.4m/s$ (1分)
由平抛运动规律可知，物块从P到A的时间为$t = \frac{v_{Ay}}{g} = 0.24s$ (1分)
(2)由牛顿第三定律可知，物块在B点受到管道的支持力大小为$F = F_N = 7.8N$
对其受力分析，由牛顿第二定律有$F - mg = \frac{mv_B^2}{R}$ (1分)
解得物块在B点的速度大小为$v_B = 4m/s$
物块从A到B过程由动能定理有$mgR(1 + \sin37^{\circ}) + W_f = \frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2$ (1分)
解得$W_f = -3.75J$ (1分)
(3)物块滑上平板时的速度$v_C = v_B$，设物块与木板共速的速度大小为$v_1$，从刚滑上平板到与平板共速的过程，物块相对平板的位移大小为$s_1$，对该过程由动量守恒定律和能量守恒定律分别有$mv_C = (m + \lambda L)v_1$ (1分)
$\frac{1}{2}mv_C^2 = \frac{1}{2}(m + \lambda L)v_1^2 + \mu mgs_1$ (1分)
解得$s_1 = \frac{1}{3}m = L$，$v_1 = 3m/s$
即物块与平板共速时刚好滑到平板右端，滑上得分区时的速度大小$v_D = v_1 = 3m/s$
物块在得分区运动，由位移速度关系可知$0 - v_D^2 = -2\mu gx$ (1分)
解得$x = 0.75m$ (1分)
(4)物块能滑入得分区内，需满足以下条件
(i)当平板较短时，临界情况是物块滑到平板右端与平板共速，即要求物块不脱离平板，则由
(3)问分析可知$L \geq \frac{1}{3}m$
(ii)当平板较长时，临界情况是平板锁定后，物块恰好在D点减速至0
从物块离开C点到与平板共速过程，根据动量守恒定律有$mv_C = (m + \lambda L_{max})v_2$
设该过程物块相对平板的位移大小为$s_2$，由能量守恒定律有$\frac{1}{2}mv_C^2 = \frac{1}{2}(m + \lambda L_{max})v_2^2 + \mu mgs_2$
平板被$DD'$锁定时，物块到D点的距离为$L_{max} - s_2$，则物块从与平板共速到运动至D点的过程，由位移速度公式可知$0 - v_2^2 = -2\mu g(L_{max} - s_2)$
联立解得$L_{max} = 1m$
故$L \leq 1m$
综上，平板长度应满足$\frac{1}{3}m \leq L \leq 1m$ (1分)
关键点拨 本题有两个关键点需要注意：
(1)题中$\lambda$为平板单位长度的质量，因此平板的质量$M = \lambda L$。
(2)本题
(4)问中物块滑上平板的速度$v_C$恒定，物块滑上平板后开始做匀减速直线运动，平板做匀加速直线运动，为使物块能够滑入得分区，应该从两个限制条件考虑：
①平板太短，容易在共速前物块掉下去，因此满足条件的情况下平板最短对应共速时物块恰好到达平板的右端；
②平板太长，容易在平板停止后物块滑不到D点，因此满足条件的情况下平板最长对应物块在平板锁定后减速运动恰能到D点。