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2026年金考卷特快专递高中物理
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2026年金考卷特快专递高中物理 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
14. (13分)如图所示，在竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于$P$点，另一端经光滑孔钉$Q$连接质量为$m$的小球$A$，该球穿过与水平直杆$OM$（足够长）成30°角的直杆$ON$，两杆平滑连接。点$P$、$Q$和$O$在同一竖直线上，$PQ$间距为弹力绳原长。将小球$A$拉至与$Q$等高的位置由静止释放。当小球$A$首次运动到斜杆底端$O$点后，在水平方向与穿在直杆$OM$且静止于$O$点、质量为$3m$的小球$B$发生弹性碰撞。小球$A$、$B$与杆间的动摩擦因数均为$\mu=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹力绳始终在弹性限度内且满足胡克定律，劲度系数为$k$，其弹性势能$E_p$与伸长量$x$的关系为$E_p=\frac{1}{2}kx^2$。已知重力加速度为$g$，$OQ$间距为$\frac{2mg}{k}$。
(1)求小球$A$下滑过程中滑动摩擦力的大小；
(2)若从碰撞后开始计时，小球$A$第一次上滑过程中离$O$点的距离$x$与时间$t$关系为$x=A_0\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$（$A_0$为常量），求小球$A$第一次速度为零时，小球$B$与$O$点的距离。
(1)求小球$A$下滑过程中滑动摩擦力的大小；
(2)若从碰撞后开始计时，小球$A$第一次上滑过程中离$O$点的距离$x$与时间$t$关系为$x=A_0\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$（$A_0$为常量），求小球$A$第一次速度为零时，小球$B$与$O$点的距离。
答案：
14.胡克定律+摩擦力+能量守恒定律+弹性碰撞+简谐运动
(1)小球A下滑过程中，设Q和小球A间的弹力绳与斜杆的夹角为$\alpha$，该段弹力绳的长度为l
由于PQ间距为弹力绳原长，则根据胡克定律可知$F = kl$ ………………………… (1分)
由几何关系可知$\sin \alpha = \frac{l_{00} \cos 30°}{l}$
该段弹力绳对小球A的弹力垂直斜杆方向的分力为$F \sin \alpha = \sqrt{3}mg ＞ mg \cos 30°$，则斜杆对小球A的弹力垂直斜杆向下，对小球A的受力分析如图所示
则垂直斜杆方向有$F \sin \alpha = F_N + mg \cos 30°$ ……………… (2分)
联立解得$F_N = \frac{\sqrt{3}mg}{2}$
由滑动摩擦力公式有滑动摩擦力大小$f = \mu F_N$ ……………… (1分)
则小球A下滑过程中滑动摩擦力的大小为$f = \frac{1}{2}mg$ ……………… (1分)
(2)设小球A首次运动到O点的速度大小为$v_A$，则从小球A静止释放至其首次运动到O点的过程，由能量守恒定律有$mgl_{0Q} + \frac{1}{2}k(\frac{l_{00}}{\tan 30°})^2 = \frac{f l_{0Q}}{\sin 30°} + \frac{1}{2}mv_A^2$ ……………… (2分)
解得$v_A = 2g\sqrt{\frac{2m}{k}}$
设小球A与B碰撞后瞬间A、B的速度分别为$v_A'$、$v_B'$，小球A、B发生弹性碰撞，以向左为正方向，则由动量守恒定律和机械能守恒定律分别有
$mv_A = mv_A' + 3mv_B'$ ………………………… (1分)
$\frac{1}{2}mv_A^2 = \frac{1}{2}mv_A'^2 + \frac{1}{2} × 3mv_B'^2$ ………………………… (1分)
联立可得$v_A' = -\frac{1}{2}v_A = -g\sqrt{\frac{2m}{k}}$，$v_B' = \frac{1}{2}v_A = g\sqrt{\frac{2m}{k}}$
由题意可知小球A、B碰撞后A在直杆ON上上滑过程做简谐运动，B以初速度$v_B'$在直杆OM上做匀减速直线运动，由简谐运动规律可知，小球A第一次速度为0时，小球A第一次上滑过程中距O点的距离达到最大值$x_{max} = A_0$，则从小球A、B碰撞后瞬间到小球A第一次速度为0过程的时间$t_0$满足$\sqrt{\frac{k}{m}}t_0 = \frac{\pi}{2}$ ………………………… (1分)
解得$t_0 = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}$
由牛顿第二定律可知小球B在直杆OM上做匀减速直线运动的加速度大小为$a_B = \mu g = \frac{\sqrt{3}}{3}g$ ………………………… (1分)
则小球B速度减为0所经历的时间为$t_B = \frac{v_B'}{a_B} = \sqrt{\frac{6m}{k}} ＞ t_0$，则小球A从O点运动到速度第一次为0过程，B运动的位移大小即为小球A第一次速度为0时小球B与O点的距离，为$x_B = \frac{v_B't_0}{2} - \frac{1}{2}a_Bt_0^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2}\pi - \frac{\sqrt{3}}{24}\pi^2)mg\sqrt{\frac{1}{k^3}}$ ………………………… (2分)
14.胡克定律+摩擦力+能量守恒定律+弹性碰撞+简谐运动
(1)小球A下滑过程中，设Q和小球A间的弹力绳与斜杆的夹角为$\alpha$，该段弹力绳的长度为l
由于PQ间距为弹力绳原长，则根据胡克定律可知$F = kl$ ………………………… (1分)
由几何关系可知$\sin \alpha = \frac{l_{00} \cos 30°}{l}$
该段弹力绳对小球A的弹力垂直斜杆方向的分力为$F \sin \alpha = \sqrt{3}mg ＞ mg \cos 30°$，则斜杆对小球A的弹力垂直斜杆向下，对小球A的受力分析如图所示
则垂直斜杆方向有$F \sin \alpha = F_N + mg \cos 30°$ ……………… (2分)
联立解得$F_N = \frac{\sqrt{3}mg}{2}$
由滑动摩擦力公式有滑动摩擦力大小$f = \mu F_N$ ……………… (1分)
则小球A下滑过程中滑动摩擦力的大小为$f = \frac{1}{2}mg$ ……………… (1分)
(2)设小球A首次运动到O点的速度大小为$v_A$，则从小球A静止释放至其首次运动到O点的过程，由能量守恒定律有$mgl_{0Q} + \frac{1}{2}k(\frac{l_{00}}{\tan 30°})^2 = \frac{f l_{0Q}}{\sin 30°} + \frac{1}{2}mv_A^2$ ……………… (2分)
解得$v_A = 2g\sqrt{\frac{2m}{k}}$
设小球A与B碰撞后瞬间A、B的速度分别为$v_A'$、$v_B'$，小球A、B发生弹性碰撞，以向左为正方向，则由动量守恒定律和机械能守恒定律分别有
$mv_A = mv_A' + 3mv_B'$ ………………………… (1分)
$\frac{1}{2}mv_A^2 = \frac{1}{2}mv_A'^2 + \frac{1}{2} × 3mv_B'^2$ ………………………… (1分)
联立可得$v_A' = -\frac{1}{2}v_A = -g\sqrt{\frac{2m}{k}}$，$v_B' = \frac{1}{2}v_A = g\sqrt{\frac{2m}{k}}$
由题意可知小球A、B碰撞后A在直杆ON上上滑过程做简谐运动，B以初速度$v_B'$在直杆OM上做匀减速直线运动，由简谐运动规律可知，小球A第一次速度为0时，小球A第一次上滑过程中距O点的距离达到最大值$x_{max} = A_0$，则从小球A、B碰撞后瞬间到小球A第一次速度为0过程的时间$t_0$满足$\sqrt{\frac{k}{m}}t_0 = \frac{\pi}{2}$ ………………………… (1分)
解得$t_0 = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}$
由牛顿第二定律可知小球B在直杆OM上做匀减速直线运动的加速度大小为$a_B = \mu g = \frac{\sqrt{3}}{3}g$ ………………………… (1分)
则小球B速度减为0所经历的时间为$t_B = \frac{v_B'}{a_B} = \sqrt{\frac{6m}{k}} ＞ t_0$，则小球A从O点运动到速度第一次为0过程，B运动的位移大小即为小球A第一次速度为0时小球B与O点的距离，为$x_B = \frac{v_B't_0}{2} - \frac{1}{2}a_Bt_0^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2}\pi - \frac{\sqrt{3}}{24}\pi^2)mg\sqrt{\frac{1}{k^3}}$ ………………………… (2分)
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