《2025年豫新锐暑假作业中原农民出版社八年级数学湘教版》

22. 如图,在$△ABC$中,D 是 BC 上的一点,E 是 AD 的中点,过点 A 作 BC 的平行线交CE的延长线于点 F,且$AF= BD$,连接 BF.
(1)求证:$BD= CD$;
(2)如果$AB= AC$,试判断四边形 AFBD 的形状,并证明你的结论。

答案：
(1) 证明：$\because E$是$A D$的中点，$\therefore A E=D E, \because A F // B C, \therefore \angle F A E=\angle C D E$. 在$\triangle A E F$与$\triangle D E C$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle A E F=\angle D E C, \\A E=D E, \\\angle F A E=\angle C D E.\end{array}\right.$
$\therefore \triangle A E F \cong \triangle D E C(A S A), \therefore A F=D C$，又$A F=B D, \therefore B D=C D$.
(2) 四边形$A F B D$是矩形，理由如下：$\because A F \stackrel{//}{=} B D, \therefore$四边形$A F B D$是平行四边形，$\because A B=A C, B D=C D, \therefore A D \perp B C, \therefore$四边形$A F B D$是矩形.

23. 如图,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,F 是 AD 延长线上一点,且$DF= BE$.
(1)求证:$CE= CF$.
(2)若点 G 在 AD 上,且$∠GCE= 45^{\circ }$,则$GE= BE+GD$成立吗?为什么?

答案：
(1) 证明：$\because$四边形$A B C D$是正方形，$\therefore B C=C D, \angle B=\angle C D F$，又$\because B E=D F, \therefore \triangle C B E \cong \triangle C D F(S A S). \therefore C E=C F$.
(2) $G E=B E+G D$成立. 理由：$\because$由
(1)得$\triangle C B E \cong \triangle C D F, \therefore \angle B C E=\angle D C F, \therefore \angle B C E+\angle E C D=\angle D C F+\angle E C D$，即$\angle E C F=\angle B C D=90^{\circ}$，又$\angle G C E=45^{\circ}, \therefore \angle G C F=\angle G C E=45^{\circ}. \because C E=C F, \angle G C E=\angle G C F, G C=G C, \therefore \triangle E C G \cong \triangle F C G(S A S), \therefore G E=G F, \therefore G E=D F+G D=B E+G D$.

24. 如图,在四边形 ABCD 中,$AD// BC,AB= CD$,点 E,F,G,H 分别是 AD,BD,BC,AC的中点.试说明:四边形 EFGH 是菱形.

答案： 证明：
∵点E，H分别是AD，AC的中点，
∴EH为△ACD的中位线，
∴EH = $\frac{1}{2}CD$。
同理可证：EF = $\frac{1}{2}AB$，FG = $\frac{1}{2}CD$，HG = $\frac{1}{2}AB$。
∵AB = CD，
∴EH = EF = FG = HG，
∴四边形EFGH是菱形。