《2025年豫新锐暑假作业中原农民出版社八年级数学湘教版》

10. 直角三角形的两边长分别是 $6$ 和 $8$,则以第三边长为边长的正方形的面积是(BC)
A.$10$
B.$100$
C.$28$
D.$24$

答案： 【解析】：已知直角三角形的两边长分别为6和8，由于未明确这两条边是直角边还是斜边，所以需要分两种情况讨论：
情况一：6和8均为直角边
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。设第三边（斜边）长为$c$，则：
$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
此时，以第三边长为边长的正方形的面积为$c^2 = 100$。
情况二：8为斜边，6为直角边
设第三边（另一条直角边）长为$b$，则根据勾股定理：
$b^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$
此时，以第三边长为边长的正方形的面积为$b^2 = 28$。
综上，正方形的面积可能是28或100，选项中B（100）和C（28）均符合条件。但题目选项中同时包含B和C，需注意题目是否存在表述歧义。根据初中数学常见考法，若未明确两边类型，应考虑两种情况，因此正确答案为B和C。但由于题目选项设置可能存在疏漏，结合常见题型，若默认6和8为直角边，则面积为100（选项B）；若考虑8为斜边，则面积为28（选项C）。此处需根据题目选项完整性判断，题目中B和C均为可能答案，但选项中同时列出，故正确选项为B和C。
【答案】：BC

11. 在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 15$,$AC = 13$,高 $AD = 12$,则 $\triangle ABC$ 的周长是(D)
A. $32$ 
B. $44$ 
C. $34$ 或 $44$ 
D. $32$ 或 $42$

答案： 【解析】：在$\triangle ABC$中，已知$AB = 15$，$AC = 13$，高$AD = 12$。由于高$AD$可能在三角形内部或外部，需分两种情况讨论：
情况一：高$AD$在$\triangle ABC$内部（锐角三角形或直角三角形）
此时，$D$在$BC$上。在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理：
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$
在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理：
$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$
因此，$BC = BD + CD = 9 + 5 = 14$。此时$\triangle ABC$的周长为：
$AB + AC + BC = 15 + 13 + 14 = 42$
情况二：高$AD$在$\triangle ABC$外部（钝角三角形）
此时，$D$在$BC$的延长线上。在$Rt\triangle ABD$中，$BD = 9$（计算同上）；在$Rt\triangle ACD$中，$CD = 5$（计算同上）。因此，$BC = BD - CD = 9 - 5 = 4$。此时$\triangle ABC$的周长为：
$AB + AC + BC = 15 + 13 + 4 = 32$
综上，$\triangle ABC$的周长为$32$或$42$。
【答案】：D

12. 若点 $M(4a,3)$ 到 $x$ 轴、$y$ 轴的距离之和为 $11$,则 $a = $$\pm2$.

答案： 【解析】：
点到$x$轴的距离等于该点的纵坐标的绝对值，即$|3|=3$，
点到$y$轴的距离等于该点的横坐标的绝对值，即$|4a|$，
根据题意，点$M(4a,3)$到$x$轴和$y$轴的距离之和为11，
所以我们可以列出方程：
$|4a|+3=11$，
移项得：
$|4a|=11-3$，
$|4a|=8$，
除以4得：
$|a|=2$，
由绝对值的性质，我们知道$a$可以是2或-2。
【答案】：$\pm2$。

13. 如果 $y= (k - 3)x^{|k|-2}+2$ 是一次函数,那么 $k$ 的值是______-3.

答案： 【解析】：要使函数 $ y = (k - 3)x^{|k| - 2} + 2 $ 是一次函数，需满足以下两个条件：
1. 自变量 $ x $ 的次数为 1，即 $ |k| - 2 = 1 $。
解方程 $ |k| - 2 = 1 $，得 $ |k| = 3 $，所以 $ k = 3 $ 或 $ k = -3 $。
2. 一次项系数不为 0，即 $ k - 3 \neq 0 $，所以 $ k \neq 3 $。
综上，$ k = -3 $。
【答案】：-3

14. 已知点 $A$,$B$ 都是 $x$ 轴上的点. 若点 $A$ 的坐标为 $(4,0)$,且 $AB = 5$,点 $C$ 的坐标为 $(2,5)$.
(1) 求点 $B$ 的坐标,并画出符合条件的 $\triangle ABC$；
(2) 求 $\triangle ABC$ 的面积。

答案： 【解析】：
(1) 设点$B$的坐标为$(x, 0)$。
由于点$A$的坐标是$(4, 0)$，且$AB = 5$，
根据两点间距离公式，有
$\sqrt{(x - 4)^{2} + (0 - 0)^{2}} = 5$
即
$(x - 4)^{2} = 25$
解得
$x - 4 = \pm 5$
从而
$x = 9 \quad \text{或} \quad x = -1$
因此，点$B$的坐标有两个可能，分别是$(9, 0)$和$(-1, 0)$。
符合条件的三角形$\triangle ABC$可以在这两种情况下分别画出。
(2) 已知点$C$的坐标是$(2, 5)$，点$A$的坐标是$(4, 0)$，点$B$的坐标可以是$(9, 0)$或$(-1, 0)$。
三角形$\triangle ABC$的底是$AB$，长度为5，高是点$C$到$x$轴的距离，即5。
因此，三角形$\triangle ABC$的面积为
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AB × 高 = \frac{1}{2} × 5 × 5 = 12.5$
【答案】：
(1) 点$B$的坐标为$(9,0)$或$(-1,0)$；
(2) $\triangle ABC$的面积为$12.5$。

15. 如图,在直角坐标系中,$\triangle ABC$ 的顶点坐标分别是 $A(0,0)$,$B(6,0)$,$C(5,5)$,求 $\triangle ABC$ 的面积.

答案： 解：由点A(0,0)，B(6,0)可知，AB在x轴上，AB的长度为6-0=6。点C(5,5)到AB的距离即点C的纵坐标的绝对值，为5。
S△ABC=$\frac{1}{2}×AB×高$=$\frac{1}{2}×6×5=15$。