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2025年豫新锐暑假作业中原农民出版社八年级数学湘教版
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22. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle CAB$ 的平分线与 $BC$ 的垂直平分线 $DE$ 交于点 $D$,$DN\perp AC$的延长线于点 $N$,连接 $DB$.小刚想在 $AB$(或延长线)上取一点 $M$,使 $MB = NC$,你能帮他解决这个问题吗？证明你作法的正确性.
答案：
解：过点 $D$ 作 $D M \perp A B$ 于点 $M$，连接 $D C$，则 $M$ 就是所要求作的点.
证明：$\because A D$ 是 $\angle B A C$ 的平分线，$D M \perp A B, D N \perp A C$，
即 $\angle B M D=\angle D N C=90^{\circ}, \therefore D N=D M$.
$\because D E$ 是 $B C$ 的垂直平分线，$\therefore D B=D C$，
$\therefore \triangle B D M \cong \triangle C D N(\mathrm{HL}), \therefore M B=N C$.
证明：$\because A D$ 是 $\angle B A C$ 的平分线，$D M \perp A B, D N \perp A C$，
即 $\angle B M D=\angle D N C=90^{\circ}, \therefore D N=D M$.
$\because D E$ 是 $B C$ 的垂直平分线，$\therefore D B=D C$，
$\therefore \triangle B D M \cong \triangle C D N(\mathrm{HL}), \therefore M B=N C$.
23. 如图,一个牧童在小河的南 $4\mathrm{km}$ 的 $A$ 处牧马,而他正位于他小屋 $B$ 的西 $8\mathrm{km}$ 北 $7\mathrm{km}$处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这些事情所走的最短路程是多少？
答案：
【解析】：以小河为x轴，过点A作小河的垂线为y轴建立平面直角坐标系。则牧童A的坐标为(0, -4)，小屋B的坐标为(8, 3)（因为A在B的西8km北7km处，A的y坐标为-4，所以B的y坐标为-4 + 7 = 3，x坐标为0 + 8 = 8）。
作点A关于x轴（小河）的对称点A'，其坐标为(0, 4)。根据对称性质，牧童到小河边饮水点P的距离AP等于A'P，所以最短路程为A'B的距离。
由两点间距离公式，A'(0, 4)与B(8, 3)之间的距离为：$\sqrt{(8 - 0)^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65} \, \text{km}$
【答案】：$\sqrt{65}$
作点A关于x轴（小河）的对称点A'，其坐标为(0, 4)。根据对称性质，牧童到小河边饮水点P的距离AP等于A'P，所以最短路程为A'B的距离。
由两点间距离公式，A'(0, 4)与B(8, 3)之间的距离为：$\sqrt{(8 - 0)^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65} \, \text{km}$
【答案】：$\sqrt{65}$
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