《2025年豫新锐暑假作业中原农民出版社八年级数学湘教版》

6. 如图,为估计一块长方形土地上农作物的产量,要在这块地中抽取形状、大小相等的正方形小块作样本,现在在中心先取一块,在均匀且有代表性的原则下,另外选取四块,你认为应怎样选取？请画出来。

答案： 【解析】：
题目要求在均匀且有代表性的原则下选取四块形状、大小相等的正方形小块作为样本。
首先，在中心已经选取了一块正方形小块。
为了均匀且有代表性，另外四块应选取在与中心块距离相等且对称的位置。
具体来说，可以在长方形土地的四个象限中，每个象限选取一块与中心块形状、大小相同的正方形小块。
【答案】：
在长方形土地的四个象限中，每个象限选取一块与中心块形状、大小相同的正方形小块。

7. 学校植物园沿路护栏纹饰部分由若干个全等棱形图案组成,每增加一个棱形图案,纹饰长度就增加 $ d \mathrm{~cm} $,如图所示,已知每个棱形图案的边长为 $ 10\sqrt{3} \mathrm{~cm} $,其一个内角为 $ 60^{\circ} $。

(1) 若 $ d = 26 \mathrm{~cm} $,则该纹饰需要 $ 231 $ 个菱形图案,求纹饰的长度 $ l $。
(2) 当 $ d = 20 \mathrm{~cm} $ 时,若保持 (1) 中纹饰长度不变,则需要多少个这样的菱形图案？

答案：
(1)解：连接菱形的对角线，交于点O，已知菱形边长为$10\sqrt{3}\ \text{cm}$，一个内角为$60^{\circ}$，则较短对角线将菱形分为两个等边三角形，较短对角线长等于边长$10\sqrt{3}\ \text{cm}$，所以$BO=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\ \text{cm}$。
在$\text{Rt}\triangle ABO$中，根据勾股定理，较长对角线的一半$AO=\sqrt{(10\sqrt{3})^{2}-(5\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{300 - 75}=\sqrt{225}=15\ \text{cm}$，则较长对角线（水平方向）长为$2AO = 30\ \text{cm}$。
由题意，纹饰长度$l=30 + 26×(231 - 1)=30+26×230=30 + 5980=6010\ \text{cm}$。
(2)解：设需要$x$个菱形图案，由题意得$30+20×(x - 1)=6010$，
$20(x - 1)=6010 - 30$，
$20(x - 1)=5980$，
$x - 1=299$，
解得$x = 300$。
答：
(1)纹饰长度为$6010\ \text{cm}$；
(2)需要$300$个菱形图案。

8. 已知一次函数 $ y = (3 - k)x - 2k^{2} + 18 $。
(1) $ k $ 为何值时,它的图象经过原点？
(2) $ k $ 为何值时,它的图象平行于直线 $ y = -x $？
(3) $ k $ 为何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？

答案： 解：
(1)
∵图象经过原点，
∴常数项为0且一次项系数不为0，
即$-2k^{2}+18=0$且$3 - k \neq 0$，
由$-2k^{2}+18=0$得$k^{2}=9$，$k=\pm3$，
又$3 - k \neq 0$，$k\neq3$，
∴$k=-3$。
(2)
∵图象平行于直线$y = -x$，
∴一次项系数相等，
即$3 - k=-1$，
解得$k=4$。
(3)
∵$y$随$x$的增大而减小，
∴一次项系数小于0，
即$3 - k\lt0$，
解得$k\gt3$。