《2025年豫新锐暑假作业中原农民出版社八年级数学湘教版》

10. 已知点$P是\triangle ABC$内的一点,连接$BP$,$CP$,求证：$\angle BPC＞\angle BAC$。

答案： 【解析】：
为了证明$\angle BPC ＞ \angle BAC$，我们可以按照以下步骤进行：
第一步，延长线段$BP$与线段$AC$相交于点$D$。
第二步，根据三角形的外角性质，在三角形$ABD$中，我们有$\angle BDC = \angle ABD + \angle BAC$，即$\angle BDC＞\angle BAC$。
第三步，同样根据三角形的外角性质，在三角形$CDP$中，我们有$\angle BPC = \angle BDC + \angle DCP$，即$\angle BPC＞\angle BDC$。
第四步，结合第二步和第三步的结论，我们可以得到$\angle BPC ＞ \angle BDC ＞ \angle BAC$，即$\angle BPC ＞ \angle BAC$。
【答案】：
$\angle BPC ＞ \angle BAC$。

11. 如图,$AB// CD$,求证：$\angle B+\angle E+\angle C = 360^{\circ}$。

答案： 证明：过点E作直线EF，使EF//AB，
则∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵AB//CD，
∴EF//CD（平行于同一直线的两条直线互相平行），
则∠C+∠CEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠BEC=∠BEF+∠CEF，
∴∠B+∠BEC+∠C=∠B+∠BEF+∠CEF+∠C=180°+180°=360°。

12. 如图,直线$a$,$b被c$所截,$\angle 1+\angle 2 = 180^{\circ}$,试判断$a$,$b$是否平行。

答案： a//b。证明：
∵∠1与∠3是对顶角，
∴∠1=∠3。又
∵∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠2=180°。
∵∠2与∠3是同旁内角，且∠2+∠3=180°，
∴a//b。