《2025年豫新锐暑假作业中原农民出版社八年级数学湘教版》

23. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y = -\frac{1}{2}x + 1的图象与x$轴、$y轴分别交于A$,$B$两点.
(1)求点$A$,$B$的坐标；
(2)若有一点$C在y$轴上,当$S_{\triangle ABC}= 2S_{\triangle AOB}$时,求点$C$的坐标.

答案： 解：
(1) 令 $ x = 0 $，则 $ y = 1 $，$ ∴ $ 点 $ B $ 的坐标是 $ (0, 1) $；令 $ y = 0 $，则 $ 0 = -\frac{1}{2}x + 1 $，$ x = 2 $，$ ∴ $ 点 $ A $ 的坐标是 $ (2, 0) $。
(2) 设点 $ C $ 的坐标为 $ (0, a) $，则 $ OC = |a| $。$ ∵ S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC·OA = 2 $，$ S_{△AOB} = \frac{1}{2}OB·OA = 1 $，则
$ S_{△ABC} = 2S_{△AOB} $，$ ∴ BC = 2OB = 2 $。当点 $ C $ 在点 $ B $ 下方时，$ BC = 1 - a $，即 $ 2 = 1 - a $，$ a = -1 $，点 $ C $ 的坐标为 $ (0, -1) $；当点 $ C $ 在点 $ B $ 上方时，$ BC = a - 1 $，即 $ 2 = a - 1 $，$ a = 3 $，点 $ C $ 的坐标为 $ (0, 3) $。

24. 园艺博览会的门票分为个人票和团体票两大类,其中个人票设置有三种：
| 票的种类 | 夜票$(A)$ | 平日普通票$(B)$ | 指定日普通票$(C)$ |
| 单价$/$ (元$/$张) | $60$ | $100$ | $150$ |
某公司欲购买个人票$100$张,其中$B种票张数是A种票张数的3倍还多8$张,设需购买$A种票张数为x$,$C种票张数为y$.
(1)写出$y与x$之间的函数表达式；
(2)设购票总费用为$w$元,求出$w$(元)与$x$(张)之间的函数表达式.

答案： 【解析】：
(1)根据题意，A种票的张数为$x$，B种票的张数是A种票的3倍还多8张，即$3x + 8$。
因为总共要购买100张票，所以C种票的张数$y$可以通过总票数减去A种和B种票的张数来得到，即：
$y = 100 - x - (3x + 8)$，
化简得：
$y = -4x + 92 \quad (0 ＜ x \leq \frac{92}{4}且x为整数)$，
由于$x$代表票数，它必须是正整数，并且$y$也必须是非负整数，所以$x$的取值范围受到限制。
(2)购票总费用$w$由A、B、C三种票的费用组成，根据各自的单价和张数，可以写出$w$关于$x$的函数表达式：
$w = 60x + 100(3x + 8) + 150(-4x + 92)$，
化简得：
$w = -240x + 14600 \quad (0 ＜ x \leq \frac{92}{4}且x为整数)$。
【答案】：
(1)$y = -4x + 92 \quad (0 ＜ x \leq 23且x为整数)$；
(2)$w = -240x + 14600 \quad (0 ＜ x \leq 23且x为整数)$。