《2025年名校课堂八年级数学上册人教版江西专版》

14. (2024·南充顺庆区期末)已知$a - b = 1$，$a^{2}+b^{2}=5$，则$ab$的值为(D)

A.$-4$
B.$4$
C.$-2$
D.$2$

答案： D

15. (2024·南充嘉陵区期末)如图所示，两个正方形的边长分别为$a$和$b$.如果$a + b = 10$，$ab = 20$，那么阴影部分的面积是(C)


A.$10$
B.$20$
C.$30$
D.$40$

答案： C

16. (2024·南充)先化简，再求值：$(x + 2)^{2}-(x^{3}+3x)÷x$，其中$x = -2$.

答案： 解:原式=$(x^{2}+4x+4)-(x^{2}+3)=x^{2}+4x+4-x^{2}-3=4x+1$.当x=-2时,原式=$4×(-2)+1=-8+1=-7$.

17. 【提出问题】
利用图形能够证明等式，例如“完全平方公式”“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么图形能否证明不等式呢？请完成以下探究性学习内容.
【自主探究】
用直角边长分别为$a$和$b$的两个等腰直角三角形进行拼图，由图 1 得到图 2.

(1)请仔细观察图形变化，解决下列问题.
①图 1 中两个三角形的面积分别为和，图 2 中长方形$ABCD$的面积为.(用含$a$，$b$的代数式表示)
②当$a≠b$时，比较大小：$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$$ab$.(填“$＞$”或“$＜$”)
③当$a$和$b$满足什么条件时，$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$与$ab$相等？甲同学说：“我可以通过计算进行说明.”乙同学说：“我可以通过画图进行说明.”请选择其中一人的方法进行说明.
【知识应用】
(2)已知$m＞0$，$n＞1$，且$m(n - 1)=9$，利用(1)发现的结论求$m^{2}+n^{2}-2n + 1$的最小值.

答案： 1. （1）③
甲同学方法：
解：计算$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}-ab$，$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}-ab=\frac{a^{2}+b^{2}-2ab}{2}$。
根据完全平方公式$(x - y)^2=x^{2}-2xy + y^{2}$，这里$x = a$，$y = b$，则$\frac{a^{2}+b^{2}-2ab}{2}=\frac{(a - b)^{2}}{2}$。
当$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}=ab$时，即$\frac{(a - b)^{2}}{2}=0$，因为一个数的平方是非负的，所以$(a - b)^{2}=0$，则$a = b$。
乙同学方法：
解：当$a = b$时，图1中的两个等腰直角三角形全等，图2中的长方形$ABCD$变为正方形。
此时图1中两个三角形面积和为$\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}$（$a = b$时为$a^{2}$），图2中长方形（正方形）面积为$ab=a^{2}$，所以当$a = b$时，$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}=ab$。
2. （2）
解：对$m^{2}+n^{2}-2n + 1$进行变形，$m^{2}+n^{2}-2n + 1=m^{2}+(n - 1)^{2}$。
已知$m(n - 1)=9$，由（1）中$\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\geqslant xy$（当且仅当$x = y$时取等号），这里$x = m$，$y=n - 1$。
则$m^{2}+(n - 1)^{2}\geqslant2m(n - 1)$。
因为$m(n - 1)=9$，所以$m^{2}+(n - 1)^{2}\geqslant2×9 = 18$。
当且仅当$m=n - 1$时取等号，又$m(n - 1)=9$，即$m× m=9$（$m\gt0$），解得$m = 3$，此时$n-1 = 3$，$n = 4$。
所以$m^{2}+n^{2}-2n + 1$的最小值是$18$。

18. 石家庄外国语校本经典题观察下列算式：
$1×2×3×4 + 1 = 5^{2}$；
$2×3×4×5 + 1 = 11^{2}$；
$3×4×5×6 + 1 = 19^{2}$；
……
试说明：当$n$为自然数时，$(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)+1=(n^{2}+5n + 5)^{2}$.

答案： 解:
∵左边=$(n+1)(n+4)(n+2)(n+3)+1=(n^{2}+5n+4)(n^{2}+5n+6)+1=[(n^{2}+5n+5)-1][(n^{2}+5n+5)+1]+1=(n^{2}+5n+5)^{2}-1^{2}+1=(n^{2}+5n+5)^{2}=$右边,
∴当n为自然数时,$(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1$是一个完全平方数.