《2025年名校课堂八年级数学上册人教版江西专版》

1. 如图，点$A$，$B$，$D$，$E$在同一条直线上，$AB = DE$，$AC// DF$，$BC// EF$。求证：$BC = EF$。

答案： 证明：
∵AC//DF，BC//EF，
∴∠A=∠FDE，∠CBA=∠E.在△ABC和△DEF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠CBA=∠E,\\ AB=DE,\\ ∠A=∠FDE,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△DEF(ASA).
∴BC=EF.

2. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = AD$，$BC = DC$，$E$为$AC$上的一点。求证：
(1)$AC$平分$\angle DAB$。
(2)$BE = DE$。

答案： 证明：
(1)在△ADC和△ABC中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ AC=AC,\\ BC=DC,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠BAE=∠DAE.
∴AC平分∠DAB.
(2)在△ABE和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠BAE=∠DAE,\\ AE=AE,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△ADE(SAS).
∴BE=DE.

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是边$BC$上的中线，$E$，$F$为直线$AD$上的点，连接$BE$，$CF$，且$BE// CF$。
(1)求证：$\triangle BDE\cong\triangle CDF$。
(2)若$AE = 13$，$AF = 7$，求$DE$的长。

答案： 解：
(1)证明：
∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD.
∵BE//CF，
∴∠DBE=∠DCF.在△BDE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠DBE=∠DCF,\\ BD=CD,\\ ∠BDE=∠CDF,\end{array}\right. $
∴△BDE≌△CDF(ASA).
(2)
∵AE=13，AF=7，
∴EF=AE-AF=13-7=6.由
(1)知，△BDE≌△CDF，
∴DE=DF.
∵DE+DF=EF=6，
∴DE=3.

4. 已知在$\triangle ABC$和$\triangle CDE$中，$CA = CB$，$CD = CE$，$\angle ACB=\angle DCE=\alpha$，$AE$与$BD$相交于点$F$。
(1)如图1，当$\alpha = 90^{\circ}$时，求证：
①$\triangle ACE\cong\triangle BCD$。
②$AE\perp BD$。
(2)如图2，当$\alpha = 60^{\circ}$时，$\angle AFB$的度数为60°。
(3)$\angle AFB$的度数为α。(用含$\alpha$的式子表示)

答案：
(1)证明：①
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACE=∠BCD,\\ CE=CD,\end{array}\right. $
∴△ACE≌△BCD(SAS).②由①知△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD.
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=90°，
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°.
∴∠AFB=90°.
∴AE⊥BD.
(2)60°
(3)α