《2025年名校课堂八年级数学上册人教版江西专版》

【例】（教材 P118 习题 T7 变式）已知 $ a + b = 6 $，$ ab = 2 $，求下列各式的值.
（1）$ a^{2} + b^{2} $.
（2）$ (a - b)^{2} $.
（3）$ a^{2} - ab + b^{2} $.
（4）$ a^{2} + ab + b^{2} $.

答案：
(1)$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=6^{2}-2×2=32$.
(2)$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab=6^{2}-4×2=28$.
(3)$a^{2}-ab+b^{2}=(a^{2}+b^{2})-ab=32-2=30$.
(4)$a^{2}+ab+b^{2}=(a+b)^{2}-ab=6^{2}-2=34$.

【变式】已知 $ x + y = 6 $，$ xy = 3 $，求下列各式的值.
（1）$ x^{2} + 4xy + y^{2} $.
（2）$ x^{4} + y^{4} $.

答案： $(1)$ 求$x^{2}+4xy + y^{2}$的值
解：
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，对于$x^{2}+4xy + y^{2}$，可变形为$(x + y)^2+2xy$。
已知$x + y = 6$，$xy = 3$，将其代入上式可得：
$6^{2}+2×3$
$=36 + 6$
$= 42$
$(2)$ 求$x^{4}+y^{4}$的值
解：
先根据完全平方公式求出$x^{2}+y^{2}$的值，$x^{2}+y^{2}=(x + y)^2-2xy$。
把$x + y = 6$，$xy = 3$代入可得：$6^{2}-2×3=36 - 6 = 30$。
再根据完全平方公式$(a^{2}+b^{2})^2=a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}$，则$x^{4}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^2-2(xy)^2$。
把$x^{2}+y^{2}=30$，$xy = 3$代入可得：
$30^{2}-2×3^{2}$
$=900-2×9$
$=900 - 18$
$= 882$
综上，答案依次为$(1)$$\boldsymbol{42}$；$(2)$$\boldsymbol{882}$。

1. 已知 $ a + b = 5 $，$ ab = 6 $，则 $ a^{2} + b^{2} $ 的值为(C)

A.25
B.20
C.13
D.17

答案： C

2. 已知 $ (x + y)^{2} = 1 $，$ (x - y)^{2} = 49 $，则 $ xy = $-12.

答案： -12

3. 若 $ 4a^{2} + b^{2} = 57 $，$ ab = 6 $，则 $ 2a + b $ 的值为±9.

答案： ±9

4. 若 $ m - n = 4 $，$ mn = - 3 $，则 $ (m^{2} - 4)(n^{2} - 4) $ 的值为-15.

答案： -15

5. 已知 $ a + b = 8 $，$ a^{2}b^{2} = 4 $，则 $ \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - ab = $28或36.

答案： 28或36

6.(2024·泸州期末)用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.数学活动课上，老师展示了如图 1 所示的长方形纸片，它的长为 $ 2a $，宽为 $ 2b $，用剪刀沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按图 2 的方式拼成一个正方形.请解答下列问题：
(1)请用两种不同的方法表示图 2 中阴影部分的面积：
方法 1：
方法 2：.
(2)观察图 2，请写出 $ (a + b)^{2} $，$ (a - b)^{2} $，$ ab $ 之间的等量关系：.
(3)结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题：
①已知 $ a + b = 5 $，$ ab = 5 $，求 $ (a - b)^{2} + (a + 2)(b + 2) $ 的值.
②已知 $ (2024 - a)^{2} + (a - 2023)^{2} = 7 $，求 $ (2024 - a)(a - 2023) $ 的值.

答案： $(3)$①
- **步骤一：根据已知公式化简$(a - b)^{2}+(a + 2)(b + 2)$
根据$(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab$，将$(a - b)^{2}+(a + 2)(b + 2)$展开：
$(a - b)^{2}+(a + 2)(b + 2)=(a + b)^{2}-4ab+ab + 2a + 2b + 4$
$=(a + b)^{2}-3ab + 2(a + b)+4$
- **步骤二：代入$a + b = 5$，$ab = 5$求值
把$a + b = 5$，$ab = 5$代入上式得：
\begin{align}&5^{2}-3×5 + 2×5+4\\=&25-15 + 10+4\\=&10 + 10+4\\=&24\end{align}
$(3)$②
- **步骤一：设$m = 2024 - a$，$n = a - 2023$，找出$m$与$n$的关系
则$m + n=(2024 - a)+(a - 2023)=1$。
- **步骤二：根据完全平方公式$(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}$变形求解
已知$m^{2}+n^{2}=7$，由$(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}$可得$mn=\frac{(m + n)^{2}-(m^{2}+n^{2})}{2}$。
- **步骤三：代入$m + n = 1$，$m^{2}+n^{2}=7$求值
把$m + n = 1$，$m^{2}+n^{2}=7$代入$mn=\frac{(m + n)^{2}-(m^{2}+n^{2})}{2}$得：
$mn=\frac{1^{2}-7}{2}=\frac{1 - 7}{2}=\frac{-6}{2}=-3$
即$(2024 - a)(a - 2023)=-3$。
综上，①的值为$\boldsymbol{24}$；②的值为$\boldsymbol{-3}$。