《2025年名校课堂八年级数学上册人教版江西专版》

核心考点 1 牧民饮马问题
1. 如图，直线$l$是一条河，$P$，$Q$是两个村庄. 计划在$l$上的某处修建一个水泵站$M$，向$P$，$Q$两地供水. 现有如下四种铺设方案(图中实线表示铺设的管道)，则所需管道最短的是(D)

2. 如图，在平面直角坐标系中，已知$A(1,1)$，$B(4,3)$.
(1)$C$是$x$轴上的一个动点，当$AC + BC$的值最小时，在图中画出点$C$的位置.
(2)本题用到了哪些数学道理，请把它挑选出来并填在横线上：①②④.(填序号)
①两点之间，线段最短；②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
③角的平分线上的点到角两边的距离相等；④三角形两边之和大于第三边.

3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(1,3)$，$B(3,-1)$，$M$是$x$轴上一动点，当$AM - BM$的值最大时，在图中画出点$M$的位置，并写出点$M$的坐标：(4,0).

4. 如图，草地边缘$OM$与小河河岸$ON$在点$O$处形成$30^{\circ}$的夹角，牧马人从$A$地出发，先牵着马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到$A$地. 已知$OA = 2\ km$，请在图中设计一条路线，使所走的路程最短，并求出整个过程所行走的路程.

核心考点 2 造桥选址问题
5. 如图 1，$A$，$B$两村之间有一条两岸互相平行的河，河宽为$a$. 现要在河上造一座桥(桥必须与河岸垂直)，使$A$，$B$之间的路程最短，试画出造桥位置. 对于此题，我们可以这样解决：
如图 2，把点$A$向下平移河宽$a$到点$A'$，连接$A'B$交$l_{2}$于点$C$；过点$C$作$CD\perp l_{1}$于点$D$，则$CD$就是造桥位置.
请仿照以上材料，解决如下问题：
如图 3，$A$，$B$两村之间有两条互相平行的河. 一条河宽$a$，另一条河宽$b$，现欲在两条河上各造一座桥(桥必须与河岸垂直)，使$A$，$B$之间的路程最短，试画出造桥位置.


6. 如图，一条东西流向的小河在点$G$和点$G'$处直角转弯，改变为南北流向，河宽不变. $A$，$B$两地分别在河的北岸和西岸，现要分别在东西、南北流向的河上建$CD$，$EF$两座桥，桥造在何处可使从$A$地到$B$地的路径$ACDEFB$最短？并说明理由.(假设河两岸是平行线，桥与河垂直)

综合应用
7. 综合实践：小明研究学习最短路径问题，发现可以根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究“牧民饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题.
【问题探究】
如图 1，在等边三角形$ABC$中，$D$为$BC$的中点，$P$，$Q$分别为$AC$，$BC$上的点，$AP = CQ = 2$，$DQ = 1$，$M$是线段$AD$上的动点，连接$MP$，$MQ$，求$MP + MQ$的最小值.
(1)小明提出的探究思路如下：如图 2，作点$Q$关于直线$AD$的对称点$Q'$，连接$PQ'$交$AD$于点$M$，连接$MQ$，根据“两点之间，线段最短”，可知此时$MP + MQ$的值最小.
①请你运用小明的探究思路，证明此时$MP + MQ$的值最小.
②求$MP + MQ$的最小值.
【类比探究】
(2)如图 3，在平面直角坐标系中，点$A$的坐标为$(4,0)$，$B$为$y$轴正半轴上一点，连接$AB$，$\angle ABO = 30^{\circ}$，$C$为$AB$的中点，$OD$平分$\angle AOB$交$AB$于点$D$，$P$为边$OB$上的一个动点. 若点$M$在线段$OD$上，连接$MC$，$MP$，则当$MC + MP$的值最小时，点$P$的坐标为①②.

答案：
1.D
2.解:
(1)

(2)①②④
3.解:(4,0) 

4.解:如图,分别作出点A关于OM,ON的对称点B,C,连接BC交OM,ON于点D,E,连接AD,AE,则线段AD,DE,EA即为所求路线.连接OB,OC.由作图可得,OB=OA=2 km,∠BOC=2∠MON=60°,BD=AD,EA=CE,
∴△OBC为等边三角形.
∴BC=OB=2 km.
∴AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=2 km,即整个过程所行走的路程为2 km.
5.解:

6.解:在点D,E处造桥DC,EF,所得路径ACDEFB最短.理由如下:把河的两岸看成平行线a,b和c,d,将AC沿与河岸垂直的方向平移等于河宽的距离,即点C移动到点D,点A移动到点A',则AA'=CD.同理,将BF沿与河岸垂直的方向平移等于河宽的距离,则BB'=EF.所以AC+DE+BF=A'D+DE+EB',当A',D,E,B'四点共线时,A'D+DE+EB'的值最小,为线段A'B'的长度.因此所得路径ACDEFB最短.
7.解:
(1)①证明:
∵△ABC是等边三角形,D为BC的中点,
∴AD⊥BC.
∵点Q,P关于直线AD对称,点P在线段AD上,
∴DQ=DQ,MQ=PM,QM=MQ.
∵点M为PQ的中点,
∴线段MQ,线段DQ,此时MP+MQ的值最小.②
∵AP=CQ=2,DQ=1,
∴DQ'=DQ=1,AC=BC=2CD=2×(2+1)=6,
∴PC+CQ=4.∠C=60°,
∴△PCQ是等边三角形,
∴PQ=PC=4,即MP+MQ的最小值为4.
(2)①②