《2025年名校课堂八年级数学上册人教版江西专版》

9. 化简：$x(x - 3) - (2x - 1)(x + 2)$.

答案： 9.解:原式=x²-3x-(2x²+4x-x-2)=x²-3x-(2x²+3x-2)=x²-3x-2x²-3x+2=-x²-6x+2.

10. 若关于$x$的多项式$(2x^{2} + ax)(x - 1)$展开合并后不含$x^{2}$项，则$a$的值是()

A.$2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$0$
D.$-2$

答案： 10.A

11. 观察下列两个多项式相乘的运算过程：

$(x\boxed{+2})(x\boxed{+5}) = x^{2}\boxed{+7}x\boxed{+10}$
$(x\boxed{-2})(x\boxed{+5}) = x^{2}\boxed{+3}x\boxed{-10}$
根据你发现的规律，若$(x + a)(x + b) = x^{2} - 7x + 12$，则$a$，$b$的值可能分别是()

A.$-3$，$-4$
B.$-3$，$4$
C.$3$，$-4$
D.$3$，$4$

答案： 11.A

12. 有足够多张如图所示的A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片. 若要拼一个长为$3a + 2b$，宽为$a + b$的大长方形，则需要C类卡片的张数为()


A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： 12.C

13. 设$M = (x - 3)(x - 7)$，$N = (x - 2)(x - 8)$，则$M$与$N$的大小关系为()

A.$M ＜ N$
B.$M ＞ N$
C.$M = N$
D.不能确定

答案： 13.B

14. 已知$m + n = mn$，则$(m - 1)(n - 1) =$.

答案： 1. 首先，根据多项式乘法法则展开$(m - 1)(n - 1)$：
根据$(a - b)(c - d)=ac - ad - bc+bd$，对于$(m - 1)(n - 1)$，有$(m - 1)(n - 1)=mn-m - n + 1$。
2. 然后，对$mn-m - n + 1$进行变形：
已知$m + n = mn$，将$mn-m - n + 1$变形为$mn-(m + n)+1$。
3. 最后，代入求值：
把$m + n = mn$代入$mn-(m + n)+1$中，得到$mn - mn+1$。
计算$mn - mn+1$，$mn - mn = 0$，所以$mn - mn+1=1$。
故$(m - 1)(n - 1)=1$。

15. 新考向 新定义问题 4个数$a$，$b$，$c$，$d$排列成$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$，我们称之为二阶行列式. 规定它的运算法则为$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$. 若$\begin{vmatrix}x - 2&x + 3\\x + 1&x - 2\end{vmatrix} = 13$，则$x =$.

答案： 15.-3/2

16. 华师二附中校本经典题 已知甲长方形相邻两边长相差$6$，乙长方形相邻两边长相差$2$，甲、乙两个长方形的周长相等. 问：哪个长方形的面积更大？大多少？

答案： 16.解:设甲长方形相邻两边长分别为m,m+6,乙长方形相邻两边长分别为n,n+2.由题意,得2(m+m+6)=2(n+n+2),解得m=n-2.
∴甲长方形的面积为m(m+6)=(n-2)(n-2+6)=n²+2n-8,乙长方形的面积为n(n+2)=n²+2n.
∵n²+2n-(n²+2n-8)=8,
∴乙长方形的面积更大,大8.

17. 湖南师大附中校本经典题 你能化简$(x - 1)(x^{n - 1} + x^{n - 2} + \cdots + x + 1)$吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法.
(1) 填空：
$(x - 1)(x + 1) =$；
$(x - 1)(x^{2} + x + 1) =$；
$(x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) =$.
(2) 猜想：$(x - 1)(x^{n - 1} + x^{n - 2} + \cdots + x + 1) =$.
(3) 请你利用上面的结论计算：
$2^{99} + 2^{98} + \cdots + 2 + 1$.

答案： 1. （1）
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，对于$(x - 1)(x + 1)$，这里$a = x$，$b = 1$，则$(x - 1)(x + 1)=x^{2}-1$；
根据多项式乘法法则：
$(x - 1)(x^{2}+x + 1)=x(x^{2}+x + 1)-1×(x^{2}+x + 1)$
$=x^{3}+x^{2}+x-(x^{2}+x + 1)$
$=x^{3}+x^{2}+x - x^{2}-x - 1=x^{3}-1$；
同样根据多项式乘法法则：
$(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=x(x^{3}+x^{2}+x + 1)-1×(x^{3}+x^{2}+x + 1)$
$=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-(x^{3}+x^{2}+x + 1)$
$=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x - x^{3}-x^{2}-x - 1=x^{4}-1$。
2. （2）
由（1）中的规律可得：$(x - 1)(x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x + 1)=x^{n}-1$。
3. （3）
解：
对于$2^{99}+2^{98}+\cdots+2 + 1$，根据$(x - 1)(x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x + 1)=x^{n}-1$，这里$x = 2$，$n=100$。
则$2^{99}+2^{98}+\cdots+2 + 1=\frac{2^{100}-1}{2 - 1}$（因为$(2 - 1)(2^{99}+2^{98}+\cdots+2 + 1)=2^{100}-1$）。
所以$2^{99}+2^{98}+\cdots+2 + 1=2^{100}-1$。
故答案依次为：（1）$x^{2}-1$；$x^{3}-1$；$x^{4}-1$；（2）$x^{n}-1$；（3）$2^{100}-1$。