《2025年名校课堂八年级数学上册人教版江西专版》

11. (1)若分式 $ \frac{x^2 - 1}{2x + 2} $ 的值为 $ 0 $，则 $ x = $1.
(2)(2024 • 甘南州)若分式 $ \frac{|x| - 2}{(x + 1)(x - 2)} $ 的值为 $ 0 $，则 $ x $ 的值为-2.

答案： 11.
(1)1
(2)-2

12. 下列关于分式 $ \frac{x + 1}{x - 2} $ 的说法正确的是 (C)

A.当 $ x = 2 $ 时，分式的值为 $ 0 $
B.当 $ x = -1 $ 时，分式无意义
C.当 $ x \neq 2 $ 时，分式有意义
D.无论 $ x $ 为何值，分式的值总为负数

答案： 12. C

13. 根据表格中的信息，分式 $ y $ 可能为 (C)


A.$ \frac{x + 3}{x - 1} $
B.$ \frac{x - 3}{x - 1} $
C.$ \frac{x - 3}{x + 1} $
D.$ \frac{x + 3}{x + 1} $

答案： 13. C

14. 人大附中校本经典题 填空：
(1)当分式 $ \frac{1}{-x + 5} $ 的值为正数时，$ x $ 的取值范围是$x＜5$.
(2)当分式 $ \frac{2x + 1}{x^2 + 1} $ 的值为负数时，$ x $ 的取值范围是$x＜-\frac{1}{2}$.
(3)当分式 $ \frac{2}{x - 1} $ 的值为正整数时，整数 $ x $ 的值是3或2.

答案： 14.
(1)$x＜5$
(2)$x＜-\frac{1}{2}$
(3)3或2

15. 新考向 开放性问题 （教材 P140 新增习题 T4 变式）分式 $ \frac{y}{x + 1} $ 可以表示什么实际意义？

答案： 15. 解:用y表示某班要发新作业本的数目,x表示该班级原有人数,则分式$\frac{y}{x+1}$可以表示新转来一名同学后,每人能发新作业本的数目.(答案不唯一)

16. 已知当 $ x = 1 $ 时，分式 $ \frac{x + 2b}{x - a} $ 无意义；当 $ x = 4 $ 时，分式的值为 $ 0 $，求 $ a + b $ 的值.

答案： 16. 解:
∵当$x=1$时,分式无意义,$\therefore 1-a=0$.$\therefore a=1$.$\because$当$x=4$时,分式的值为0,$\therefore 4+2b=0$.$\therefore b=-2$.$\therefore a+b=1-2=-1$.

17. 新考向 阅读理解 阅读下面材料，解答问题.
分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式.如：$ \frac{x - 2}{x + 1} ＞ 0 $；$ \frac{2x + 3}{x - 1} ＜ 0 $ 等.那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知，两数相除，同号得正，异号得负.用字母表示为：
若 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，则 $ \frac{a}{b} ＞ 0 $；
若 $ a ＜ 0 $，$ b ＜ 0 $，则 $ \frac{a}{b} ＞ 0 $；
若 $ a ＞ 0 $，$ b ＜ 0 $，则 $ \frac{a}{b} ＜ 0 $；
若 $ a ＜ 0 $，$ b ＞ 0 $，则 $ \frac{a}{b} ＜ 0 $.
反之：① 若 $ \frac{a}{b} ＞ 0 $，则 $ \begin{cases} a ＞ 0, \\ b ＞ 0 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} a ＜ 0, \\ b ＜ 0 \end{cases} $；
② 若 $ \frac{a}{b} ＜ 0 $，则$\left\{\begin{array}{l} a＞0,\\ b＜0\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} a＜0,\\ b＞0\end{array}\right. $.
(1)补全材料②的内容.
(2)根据上述材料，求不等式 $ \frac{x - 2}{x + 1} ＞ 0 $ 的解集.

答案： $(1)$ 补全材料②的内容
根据两数相除，异号得负，所以若$\frac{a}{b} \lt 0$，则$\begin{cases}a \gt 0 \\ b \lt 0 \end{cases}$或$\begin{cases}a \lt 0 \\ b \gt 0 \end{cases}$。
$(2)$ 求不等式$\frac{x - 2}{x + 1} \gt 0$的解集
解：根据上述材料，对于不等式$\frac{x - 2}{x + 1} \gt 0$，则有$\begin{cases}x - 2 \gt 0 \\ x + 1 \gt 0 \end{cases}$或$\begin{cases}x - 2 \lt 0 \\ x + 1 \lt 0 \end{cases}$。
解不等式组$\begin{cases}x - 2 \gt 0 \\ x + 1 \gt 0 \end{cases}$：
解$x - 2 \gt 0$，得$x \gt 2$；
解$x + 1 \gt 0$，得$x \gt - 1$。
根据“同大取大”，所以此不等式组的解集为$x \gt 2$。
解不等式组$\begin{cases}x - 2 \lt 0 \\ x + 1 \lt 0 \end{cases}$：
解$x - 2 \lt 0$，得$x \lt 2$；
解$x + 1 \lt 0$，得$x \lt - 1$。
根据“同小取小”，所以此不等式组的解集为$x \lt - 1$。
综上，不等式$\frac{x - 2}{x + 1} \gt 0$的解集为$x \gt 2$或$x \lt - 1$。
故答案为：$(1)$$\begin{cases}a \gt 0 \\ b \lt 0 \end{cases}$，$\begin{cases}a \lt 0 \\ b \gt 0 \end{cases}$；$(2)$$x \gt 2$或$x \lt - 1$。