《2025年名校课堂八年级数学上册人教版江西专版》

15. (2024·河南)计算$(\underbrace{a·a·\cdots·a}_{a个})^{3}$的结果是()

A.$a^{5}$
B.$a^{6}$
C.$a^{a+3}$
D.$a^{3a}$

答案： D

16. 已知$(a^{2}b^{n})^{m}=a^{6}b^{9}$，则$n$的值是()

A.1
B.2
C.3
D.6

答案： C

17. 北京四中校本经典题 若$3×3^{x}×9^{x}=3^{22}$，则$x$的值为$$$$.

答案： 7

18. 人大附中校本经典题 已知$2^{m}=a$，$2^{n}=b$，则$2^{2m+3n}$用$a$，$b$可以表示为.

答案： 解：
根据幂的运算法则：$(a^m)^n = a^{mn}$，$a^m× a^n=a^{m + n}$。
1. 先对$2^{2m+3n}$进行变形：
根据$a^{m + n}=a^m× a^n$，可得$2^{2m+3n}=2^{2m}×2^{3n}$。
再根据$(a^m)^n = a^{mn}$，对$2^{2m}$和$2^{3n}$进一步变形：
$2^{2m}=(2^m)^2$，$2^{3n}=(2^n)^3$。
2. 然后将$2^{m}=a$，$2^{n}=b$代入：
因为$2^{2m}=(2^m)^2$，$2^{m}=a$，所以$2^{2m}=a^{2}$；
因为$2^{3n}=(2^n)^3$，$2^{n}=b$，所以$2^{3n}=b^{3}$。
那么$2^{2m}×2^{3n}=a^{2}b^{3}$。
所以$2^{2m + 3n}$用$a$，$b$可以表示为$a^{2}b^{3}$。

19. 计算：
(1) $[(x+y)^{3}]^{6}+[(x+y)^{9}]^{2}$.
(2) $-(x^{2})^{3}·(-x^{2})^{2}-x·(x^{3})^{3}$.
(3) $(\frac{12}{5})^{2024}×(-\frac{5}{6})^{2026}×(\frac{1}{2})^{2025}$.

答案： $(1)$ 计算$[(x + y)^{3}]^{6}+[(x + y)^{9}]^{2}$
解：
根据幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，对原式进行化简：
$[(x + y)^{3}]^{6}=(x + y)^{3×6}=(x + y)^{18}$
$[(x + y)^{9}]^{2}=(x + y)^{9×2}=(x + y)^{18}$
将化简结果代入原式可得：
$(x + y)^{18}+(x + y)^{18}=2(x + y)^{18}$
$(2)$ 计算$-(x^{2})^{3}\cdot(-x^{2})^{2}-x\cdot(x^{3})^{3}$
解：
根据幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，分别化简各项：
$-(x^{2})^{3}=-x^{2×3}=-x^{6}$
$(-x^{2})^{2}=x^{2×2}=x^{4}$
$(x^{3})^{3}=x^{3×3}=x^{9}$
将化简结果代入原式可得：
$-x^{6}\cdot x^{4}-x\cdot x^{9}$
根据同底数幂相乘公式$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$进一步计算：
$-x^{6 + 4}-x^{1 + 9}=-x^{10}-x^{10}=-2x^{10}$
$(3)$ 计算$(\frac{12}{5})^{2024}×(-\frac{5}{6})^{2026}×(\frac{1}{2})^{2025}$
解：
将$(-\frac{5}{6})^{2026}$变形为$(-\frac{5}{6})^{2024}×(-\frac{5}{6})^{2}$，$(\frac{1}{2})^{2025}$变形为$(\frac{1}{2})^{2024}×\frac{1}{2}$，则原式可化为：
$(\frac{12}{5})^{2024}×(-\frac{5}{6})^{2024}×(-\frac{5}{6})^{2}×(\frac{1}{2})^{2024}×\frac{1}{2}$
根据积的乘方公式$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$[\frac{12}{5}×(-\frac{5}{6})×\frac{1}{2}]^{2024}×\frac{25}{36}×\frac{1}{2}$
先计算中括号内的值：$\frac{12}{5}×(-\frac{5}{6})×\frac{1}{2}=-1$
则$(-1)^{2024}×\frac{25}{36}×\frac{1}{2}=1×\frac{25}{72}=\frac{25}{72}$
综上，答案依次为：$(1)\boldsymbol{2(x + y)^{18}}$；$(2)\boldsymbol{-2x^{10}}$；$(3)\boldsymbol{\frac{25}{72}}$。

20. 石家庄外国语校本经典题 已知$3^{x+1}·5^{x+1}=15^{2x-3}$，求$x$的值.

答案： 20.解:
∵$3^{x+1}·5^{x+1}=15^{2x-3}$,
∴$(3×5)^{x+1}=15^{2x-3}$,即$15^{x+1}=15^{2x-3}$,
∴$x+1=2x-3$,解得$x=4$.

1. 比较$2^{55}$，$3^{44}$，$4^{33}$的大小，正确的是()

A.$2^{55}＜3^{44}＜4^{33}$
B.$4^{33}＜3^{44}＜2^{55}$
C.$2^{55}＜4^{33}＜3^{44}$
D.$3^{44}＜4^{33}＜2^{55}$

答案： C

2. 已知$a=16^{7}$，$b=8^{9}$，$c=4^{13}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是$$$$.(用“$＞$”连接)

答案： $a＞b＞c$

1. 比较大小：$2^{75}$$3^{50}$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)

答案： $＜$

2. 已知$a=81^{31}$，$b=27^{41}$，$c=9^{61}$，试比较$a$，$b$，$c$的大小，并用“$＞$”将它们连接起来：$$$$.

答案： $a＞b＞c$