《2025年名校课堂八年级数学上册人教版江西专版》

10. 试卷上一个正确的式子$(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b}) ÷ ★ = \frac{2}{a + b}$被小颖同学不小心滴上墨汁，则被墨汁遮住部分★的式子为(A)

A.$\frac{a}{a - b}$
B.$\frac{a - b}{a}$
C.$\frac{a}{a + b}$
D.$\frac{4a}{a^2 - b^2}$

答案： A

11. 若$a^2 - 2a - 15 = 0$，则式子$(a - \frac{4a - 4}{a}) \cdot \frac{a^2}{a - 2}$的值是15。

答案： 15

12. (2024·达州)先化简：$(\frac{x}{x - 2} - \frac{x}{x + 2}) ÷ \frac{x^2 + x}{x^2 - 4}$，再从$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$中选择一个合适的数作为$x$的值代入求值。

答案： 原式$=\frac{x(x+2)-x(x-2)}{(x+2)(x-2)}\cdot\frac{(x+2)(x-2)}{x(x+1)}=\frac{x^2+2x-x^2+2x}{x(x+1)}=\frac{4x}{x(x+1)}=\frac{4}{x+1}$.$\because x-2\neq0$且$x+2\neq0$且$x\neq0$且$x+1\neq0$,$\therefore x\neq\pm2$且$x\neq0$且$x\neq-1$.$\therefore x=1$.当$x=1$时,原式$=\frac{4}{1+1}=2$.

13. 新考向 推理能力观察以下等式：
第 1 个等式：$\frac{1}{1} + \frac{0}{2} + \frac{1}{1} × \frac{0}{2} = 1$；
第 2 个等式：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} × \frac{1}{3} = 1$；
第 3 个等式：$\frac{1}{3} + \frac{2}{4} + \frac{1}{3} × \frac{2}{4} = 1$；
第 4 个等式：$\frac{1}{4} + \frac{3}{5} + \frac{1}{4} × \frac{3}{5} = 1$；
第 5 个等式：$\frac{1}{5} + \frac{4}{6} + \frac{1}{5} × \frac{4}{6} = 1$；
……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第 6 个等式：$\frac{1}{6}+\frac{5}{7}+\frac{1}{6}×\frac{5}{7}=1$。
(2)写出你猜想的第$n$个等式：$\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n+1}+\frac{1}{n}\cdot\frac{n-1}{n+1}=1$($n$为正整数)，并证明。

答案：
(1)$\frac{1}{6}+\frac{5}{7}+\frac{1}{6}×\frac{5}{7}=1$
(2)$\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n+1}+\frac{1}{n}\cdot\frac{n-1}{n+1}=1$ 证明:
∵左边$=\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n+1}+\frac{1}{n}\cdot\frac{n-1}{n+1}=\frac{(n+1)+n(n-1)+(n-1)}{n(n+1)}=\frac{n+1+n^2-n+n-1}{n(n+1)}=\frac{n^2+n}{n(n+1)}=\frac{n(n+1)}{n(n+1)}=1=$右边,
∴原等式成立.

1. 已知$a^2 - a + 1 = 2$，则$\frac{2}{a^2 - a} + a - a^2$的值为1。

答案： 1

2. 已知$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 6$，则$\frac{a - 3ab + b}{a + 12ab + b}$的值为$\frac{1}{6}$。

答案： $\frac{1}{6}$

3. 已知$a^2 + 2a - 3 = 0$，则$(2a - \frac{12a}{a + 2}) ÷ \frac{a - 4}{a^2 + 4a + 4}$的值为6。

答案： 6

4. 若$m + n = 1$，则式子$(\frac{2m + n}{m^2 - mn} + \frac{1}{m}) \cdot (m^2 - n^2)$的值为3。

答案： 3

5. 已知$a ＞ b ＞ 0$，且$a^2 + b^2 = 3ab$，则$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})^2 ÷ (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2})$的值是$-\sqrt{5}$。

答案： $-\sqrt{5}$