《2025年名校课堂八年级数学上册人教版江西专版》

6. 下列计算正确的是(C)

A.$(a + 3b)(a - 3b) = a^2 - 3b^2$
B.$(-a + 3b)(a - 3b) = -a^2 - 9b^2$
C.$(-a - 3b)(a - 3b) = -a^2 + 9b^2$
D.$(-a - 3b)(a + 3b) = a^2 - 9b^2$

答案： 6.C

7. 已知$x^2 - y^2 = -1$，则$(x - y)^{2025}(x + y)^{2025} =$。

答案： 1. 首先，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a - b)(a + b)$：
已知$x^{2}-y^{2}=-1$，由平方差公式可得$(x - y)(x + y)=x^{2}-y^{2}=-1$。
2. 然后，根据积的乘方公式$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$（$n$为正整数）：
对于$(x - y)^{2025}(x + y)^{2025}$，根据积的乘方公式$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$，这里$a=(x - y)$，$b=(x + y)$，$n = 2025$，则$(x - y)^{2025}(x + y)^{2025}=[(x - y)(x + y)]^{2025}$。
因为$(x - y)(x + y)=x^{2}-y^{2}=-1$，所以$[(x - y)(x + y)]^{2025}=(-1)^{2025}$。
又因为$2025$是奇数，根据负数的奇次幂是负数，即$(-1)^{n}=\left\{\begin{array}{ll}1&(n为偶数)\\ - 1&(n为奇数)\end{array}\right.$，所以$(-1)^{2025}=-1$。
故$(x - y)^{2025}(x + y)^{2025}=-1$。

8. 定义$a※b = a(b + 1)$，例如$2※3 = 2×(3 + 1) = 2×4 = 8$，则$(x - 1)※x =$。

答案： 1. 首先，根据定义$a※b = a(b + 1)$：
对于$(x - 1)※x$，这里$a=x - 1$，$b = x$。
那么$(x - 1)※x=(x - 1)(x + 1)$。
2. 然后，根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$（其中$a = x$，$b = 1$）：
所以$(x - 1)(x + 1)=x^{2}-1$。
故答案为$x^{2}-1$。

9. 对于任意正整数$n$，能整除式子$(3n + 1)(3n - 1) - (3 - n)(3 + n)$的整数是(C)

A.3
B.6
C.10
D.9

答案： 9.C

10. 计算：
(1)$(5m + 2)(5m - 2) - (3m + 1)(1 - 3m)$。
(2)$2023×2025 - 2024^2$。

答案： 10.解:
(1)原式=(25m²-4)-(1-9m²)=25m²-4-1+9m²=34m²-5.
(2)原式=(2024-1)×(2024+1)-2024²=2024²-1-2024²=-1.

11. (1)先化简，再求值：$(a + b)(a - b) + b(2a + b)$，其中$a = 1$，$b = -2$。
(2)已知$3x^2 - x - 1 = 0$，求式子$(2x + 5)(2x - 5) + 2x(x - 1)$的值。

答案： $(1)$ 化简并求值$(a + b)(a - b) + b(2a + b)$
- **步骤一：化简式子
根据平方差公式$(m+n)(m - n)=m^2 - n^2$，对$(a + b)(a - b)$化简可得$a^{2}-b^{2}$；
再根据单项式乘多项式法则$m(p+q)=mp+mq$，对$b(2a + b)$化简可得$2ab + b^{2}$。
所以$(a + b)(a - b) + b(2a + b)=a^{2}-b^{2}+2ab + b^{2}$，合并同类项后得到$a^{2}+2ab$。
- **步骤二：代入求值
当$a = 1$，$b = -2$时，将值代入$a^{2}+2ab$可得：
$1^{2}+2×1×(-2)=1 - 4=-3$。
$(2)$ 求式子$(2x + 5)(2x - 5) + 2x(x - 1)$的值
- **步骤一：化简式子
根据平方差公式$(m+n)(m - n)=m^2 - n^2$，对$(2x + 5)(2x - 5)$化简可得$(2x)^{2}-5^{2}=4x^{2}-25$；
再根据单项式乘多项式法则$m(p+q)=mp+mq$，对$2x(x - 1)$化简可得$2x^{2}-2x$。
所以$(2x + 5)(2x - 5) + 2x(x - 1)=4x^{2}-25+2x^{2}-2x$，合并同类项后得到$6x^{2}-2x - 25$。
- **步骤二：根据已知条件变形并代入求值
已知$3x^{2}-x - 1 = 0$，移项可得$3x^{2}-x = 1$。
对$6x^{2}-2x - 25$变形可得$2(3x^{2}-x)-25$。
把$3x^{2}-x = 1$代入$2(3x^{2}-x)-25$可得：
$2×1-25=2 - 25=-23$。
综上，$(1)$的结果为$-3$；$(2)$的结果为$-23$。

12. 某中学为了响应国家“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池，已知游泳池的长为$(4a^2 + 9b^2)m$，宽为$(2a + 3b)m$，深为$(2a - 3b)m$，则这个游泳池的容积是多少？

答案： 12.解:(4a²+9b²)(2a+3b)(2a-3b)=(4a²+9b²)(4a²-9b²)=(16a⁴-81b⁴)m³.
答:这个游泳池的容积是(16a⁴-81b⁴)m³.

13. 先观察下面的解题过程，然后解答问题：
化简：$(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)$。
解：原式$=(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)$
$=(2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)$
$=(2^4 - 1)(2^4 + 1)$
$=2^8 - 1$。
化简：$(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)\cdots(3^{64} + 1)$。

答案： 13.解:原式=$\frac{1}{2}$(3-1)(3+1)(3²+1)(3⁴+1)(3⁸+1)…(3⁶⁴+1)=$\frac{1}{2}$(3²-1)(3²+1)(3⁴+1)(3⁸+1)…(3⁶⁴+1)=$\frac{1}{2}$(3⁴-1)(3⁴+1)(3⁸+1)…(3⁶⁴+1)=$\frac{1}{2}$(3⁸-1)(3⁸+1)…(3⁶⁴+1)=$\frac{1}{2}$(3⁶⁴-1)(3⁶⁴+1)=$\frac{1}{2}$(3¹²⁸-1).